江苏专用高考数学复习第三章导数及其应用第3讲利用导数研究函数的最(极)值课件.pptx

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1、第3讲　利用导数研究函数的最(极)值考试要求1.函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(A级要求)；2.利用导数求函数的极大值、极小值，闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)(B级要求).知识梳理1.函数的极值若在函数y＝f(x)的定义域I内存在x0，使得在x0附近的所有点x，都有__________，则称函数y＝f(x)在点x＝x0处取得极大值，记作y极大值＝_______；若在x0附近的所有点x，都有__________，则称函数y＝f(x)在点x＝x0处取得极小值，记作y极小值＝______.f(x)

2、)f(x0)f(x)>f(x0)f(x0)2.求函数极值的步骤：(1)求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的所有实数根；(3)观察在每个根xn附近，从左到右，导函数f′(x)的符号如何变化，若f′(x)的符号由正变负，则f(xn)是极大值；若由负变正，则f(xn)是极小值；若f′(x)的符号在xn的两侧附近相同，则xn不是函数f(x)的极值点.3.函数的最值若在函数f(x)的定义域I内存在x0，使得对于任意的x∈I，都有f(x)≤_______，则称f(x0)为函数的最大值，记作ymax＝______；若在函数f(x)的定义域I内

3、存在x0，使得对于任意的x∈I，都有f(x)≥_______，则称f(x0)为函数的最小值，记作ymin＝_____.4.求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最值的步骤：(1)求f(x)在区间[a，b]上的极值；(2)将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值.f(x0)f(x0)f(x0)f(x0)诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.()(2)函数的极大值不一定比极小值大.()(3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极

4、值点的充要条件.()(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.()解析(1)函数在某区间或定义域内极大值可以不止一个，故(1)错误，(3)对可导函数f(x)，f′(x)＝0是x0为极值点的必要条件.答案(1)×(2)√(3)×(4)√2.函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1，1]上的最大值是________.解析∵f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.∴f(x)在[－1，0)上是增函数，f(x)在(0，1]上是减函数.∴f(x)max＝f(x)极大值＝f(0)＝2.答案2其中，既是奇函数

5、又存在极值的是________(填序号).解析由题意可知②，③中的函数不是奇函数，①中函数y＝x3单调递增(无极值)，④中的函数既为奇函数又存在极值.答案④4.(2018·全国Ⅲ卷改编)函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为________(填序号).答案④5.(2018·江苏卷)若函数f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[－1，1]上的最大值与最小值的和为________.答案－3考点一　利用导数研究函数的极值角度1求函数的极值设函数g(x)＝f(x)＋(x－a)cosx－sinx，讨论g(

6、x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.解因为g(x)＝f(x)＋(x－a)cosx－sinx，所以g′(x)＝f′(x)＋cosx－(x－a)sinx－cosx＝x(x－a)－(x－a)sinx＝(x－a)(x－sinx)，令h(x)＝x－sinx，则h′(x)＝1－cosx≥0，所以h(x)在R上单调递增.因为h(0)＝0，所以，当x>0时，h(x)>0；当x<0时，h(x)<0.①当a<0时，g′(x)＝(x－a)(x－sinx)，当x∈(－∞，a)时，x－a<0，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(a，0)时，x－a>

7、0，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(0，＋∞)时，x－a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增.所以当x＝a时，g(x)取到极大值，当x＝0时，g(x)取到极小值，极小值是g(0)＝－a.②当a＝0时，g′(x)＝x(x－sinx)，当x∈(－∞，＋∞)时，g′(x)≥0，g(x)单调递增；所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，g(x)无极大值也无极小值.③当a>0时，g′(x)＝(x－a)(x－sinx)，当x∈(－∞，0)时，x－a<0，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(0，a)时，x－a<0，g′(x)<0，g(

8、x)单调递减；当x∈(a，＋∞)时，x－a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增.所以当x＝0时，g(x)取到极大值，极大值是g(0)＝－a；综上所述：当a＝0时，函数g(x)在(－∞，＋∞)