线性代数复习总结.doc

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1、线性代数复习总结大全第一章行列式二三阶行列式N阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n个元素的乘积的和（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。（转置行列式）②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。③常数k乘以行列式的某一行（列），等于k乘以此行列式。推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零；推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。④行列式具有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，值不变行列式依行（列）展开：余子式、代数余子式定理：

2、行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。克莱姆法则：非齐次线性方程组：当系数行列式时，有唯一解：齐次线性方程组：当系数行列式时，则只有零解逆否：若方程组存在非零解，则D等于零特殊行列式：①转置行列式：②对称行列式:③反对称行列式:奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:方法：用把化为零，。。化为三角形行列式⑤上（下）三角形行列式:行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的）化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、21第二章矩阵矩阵的概念：（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n阶方阵、相等矩阵)矩阵的运算：加法（

3、同型矩阵）---------交换、结合律数乘---------分配、结合律乘法注意什么时候有意义一般AB=BA，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0转置(反序定理)方幂：几种特殊的矩阵：对角矩阵：若AB都是N阶对角阵，k是数，则kA、A+B、AB都是n阶对角阵数量矩阵：相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……）对称矩阵反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方都是0分块矩阵：加法，数乘，乘法：类似，转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵：设A是N阶方阵，若存在N阶矩阵B的AB=

4、BA=I则称A是可逆的，(非奇异矩阵、奇异矩阵

5、A

6、=0、伴随矩阵)初等变换1、交换两行（列）2.、非零k乘某一行（列）3、将某行（列）的K倍加到另一行（列）初等变换不改变矩阵的可逆性初等矩阵都可逆初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的（对换阵倍乘阵倍加阵）等价标准形矩阵矩阵的秩r(A)：满秩矩阵降秩矩阵若A可逆，则满秩若A是非奇异矩阵，则r（AB）=r（B）初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：21都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相

7、等；矩阵，行列式逆矩阵注：①AB=BA=I则A与B一定是方阵②BA=AB=I则A与B一定互逆；③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A可逆，则其逆矩阵是唯一的。矩阵的逆矩阵满足的运算律：1、可逆矩阵A的逆矩阵也是可逆的，且2、可逆矩阵A的数乘矩阵kA也是可逆的，且3、可逆矩阵A的转置也是可逆的，且4、两个可逆矩阵A与B的乘积AB也是可逆的，且但是两个可逆矩阵A与B的和A+B不一定可逆，即使可逆，但A为N阶方阵，若

8、A

9、=0，则称A为奇异矩阵，否则为非奇异矩阵。5、若A可逆，则伴随矩阵：A为N阶方阵，伴随矩阵：（代数余子式）特殊矩阵的逆矩阵：（对1和2，前提是每个

10、矩阵都可逆）1、分块矩阵则2、准对角矩阵，则3、4、（A可逆）5、6、（A可逆）7、8、判断矩阵是否可逆：充要条件是，此时求逆矩阵的方法：定义法21伴随矩阵法初等变换法只能是行变换初等矩阵与矩阵乘法的关系：设是m*n阶矩阵，则对A的行实行一次初等变换得到的矩阵，等于用同等的m阶初等矩阵左乘以A：对A的列实行一次初等变换得到的矩阵，等于用同种n阶初等矩阵右乘以A（行变左乘，列变右乘）第三章线性方程组消元法非齐次线性方程组：增广矩阵→简化阶梯型矩阵r(AB)=r(B)=r当r=n时，有唯一解；当时，有无穷多解r(AB)r(B)，无解齐次线性方程组：仅有零解充要r

11、(A)=n有非零解充要r(A)

12、A

13、=0齐次线性方程组若有零解，一定是无穷多个N维向量：由n个实数组成的n元有序数组。希腊字母表示（加法数乘）特殊的向量：行（列）向量，零向量θ，负向量，相等向量，转置向量向量间的线性关系:线性组合或线性表示向量组间的线性相关（无）：定义向量组的秩：极大无关组（定义P188）定理：如果是向量组的线性无关的部分组，则它是极大无关组的充要条件是：中的每一个向量都可由线性表出。秩:极大无关组中所含的向量个数。定理：设A为m*n矩阵

14、，则的充要条件是：A的列（行）秩为r。现性方程组解的