经典双曲线知识点.doc

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1、双曲线：了解双曲线的定义、几何图形和标准方程；了解双曲线的简单几何性质。重点：双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及简单的几何性质.难点：双曲线的标准方程，双曲线的渐进线.知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数<大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1.双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2.若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：<），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若<），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一

2、支；3.若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线<包括端点）；4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。知识点二：双曲线的标准方程1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中.注意：1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程；2．在双曲线的两种标准方程中，都有；3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标

3、为，.知识点三：双曲线的简单几何性质　　双曲线

4、个顶点，坐标分别为A1<―a，0），A2

5、A1A2

6、=2a，

7、B1B29/9

8、=2b。a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长。　　注意：①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。　　②双曲线的焦点总在实轴上。③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。<4）离心率：①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作。　　②因为c＞

9、a＞0，所以双曲线的离心率。　由c2=a2+b2，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。③等轴双曲线，所以离心率。<5）渐近线：经过点A2、A1作y轴的平行线x=±a，经过点B1、B2作x轴的平行线y=±b，四条直线围成一个矩形<如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是。我们把直线叫做双曲线的渐近线。b5E2RGbCAP注意：双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交。知识点四：双曲线与的区别和联系标准方程图形性质焦点，，焦距范围，，对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点轴实轴长=，虚轴长=离心率准线方程渐近线方

10、程知识点五：双曲线的渐近线：<1）已知双曲线方程求渐近线方程：若双曲线方程为，则其渐近线方程为注意：<1）已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”9/9，然后因式分解即得渐近线方程。<2）已知渐近线方程求双曲线方程：若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可。<3）与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为<，焦点在轴上，，焦点在y轴上）<4）等轴双曲线的渐近线等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为.p1EanqFDPw知识点六：双曲线图像中线段的几何特征：　　双曲线，如图：　　　<1）实轴长，虚轴长,焦距，　　<2）离心率：；　　

11、<3）顶点到焦点的距离：，；　　<4）中结合定义与余弦定理，将有关线段、、和角结合起来.1．如何确定双曲线的标准方程？当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式。此时，双曲线的焦点在坐标轴上。2．双曲线标准方程中的三个量a、b、c的几何意义　　双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c＞a，c＞b，且c2=b2+a2。3．如何由双曲线标准方