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1、第二章方程求根§2.0引言§2.1二分法§2.2简单迭代法§2.3牛顿（Newton）法§2.4其它求根方法（迭代过程的加速方法）§2.5作业讲评§2.0引言非线性科学是当今科学发展的一个重要研究方向，非线性方程的求根也成为其中一个重要内容。一般而言，非线性方程的求根非常复杂。在实际应用中有许多非线性方程的例子，例如（1）在光的衍射理论（thetheoryofdiffractionoflight)中,需要求x-tanx=0的根（2）在行星轨道（planetaryorbits）的计算中,对任意的a和b，需要求x-asinx=b的根（3）在数学中，需要求n
2、次多项式nn-1axnn++ax-1...+ax1+a0=0的根。非线性方程的一般形式fx()0=这里fx()是单变量x的函数，它可以是代数多项式nn-1f()xaxax=++nn-1...++a1xa0(an≠0)也可以是超越函数，即不能表示为上述形式的函数。满足方程fx()0=的x值通常叫做方程的根或解，也叫函数fx()0=的零点。§2.1二分法(BisectionMethod)1概念:二分法也称对分区间法、对分法等，是最简单的求根方法，属于区间法求根类型。在用近似方法时，需要知道方程的根所在区间。若区间[a,b]含有方程f(x)=0的根，则称[a
3、,b]为f(x)=0的有根区间；若区间[a,b]仅含方程f(x)=0的一个根，则称[a,b]为f(x)=0的一个单根区间。2．基本思想根的存在定理(零点定理)：f(x)为[a,b]上的连续函数，若f(a)·f(b)<0，则[a,b]中至少有一个实根。如果f(x)在[a,b]上还是单调递增或递减的，则f(x)=0仅有一个实根。ax1x*x2b图示：二分法3．构造原理直接取区间[a,b]的中点x=(a+b)/2作为问题的近似解，那么我们可以估计出绝对误差限仅为区间长的一半，即e=(b-a)/2。如果这个结果能满足精度要求，我们就停止进一步的计算；如果不能，
4、就求出f(x),结果只能是下面三种情况之一：（1）f(a)·f(x)<0，此时我们有x*∈[a,x]；（2）f(x)·f(b)<0，此时我们有x*∈[x,b]；（3）f(x)=0，此时x即为问题的精确解。在前两种情况下，我们可以用x分别替换原问题中的b或a,从而把求解的区间减小了一半。这样我们又可以取新区间[a,b]的中点。经过NN次迭代后，剩下的区间长为(b-a)/2。这也是结果的绝对误差限。如此继续下去就达到是有根区间逐步缩小的目的，在这一些相互包含的{}x*子区间中构造收敛的数列k来逼近根x。例求方程的有根区间.解根据有根区间定义，对方程的根进行
5、搜索计算，结果如下表：方程的三个有根区间为［1,2］,［3,4］,［5,6］.非线性方程f(x)=0求根，包括求超越方程和代数方程的根x*,方程的根也是f(x)的零点，即f(x*)=0,x*可以是实根也可以是复根，本章以求实根为主。求实根首先要确定根x*所在区间，称为有根区间。根据连续函数性质，若f(x)在上连续，当f()f(b)<0时，为有根区间,为找到方程f(x)=0的有根区间,可用逐次搜索法,也就是在x的不同点上计算f(x),观察f(x)的符号,如例2.1表中所示,只要在相邻两点f反号,则得到有根区间,本例得到三个有根区间,分别为[1,2][3,
6、4][5,6].4．基本步骤假设f(x)=0，在区间[a,b]中只有一个根，且满足f(a)f(b)<0，则利用二分法构造求根过程为：While(
7、a-b
8、>eps)x=(a+b)/2计算f(x)若(
9、f(x)
10、11、
12、x1−≤x*
13、22第k步产生的xabkk⊆[,k]有误差ba−
14、x−≤x*
15、kk2对于给定的精度ε,可估计二分法所需的步数k：ba−⎡⎣ln(ba−−)lnε⎤⎦<⇒εk>k2ln2注：用二分法求根，最好先给出f(x)草图以确定根的大概位置。或用搜索程序，将[a,b]分为若干小区间，对每一个满足f(ak)·f(bk)<0的区间调用二分法程序，可找出区间[a,b]内的多个根，不必要求f(a)·f(b)<0。6例题例1证明方程1－x－sinx＝0在区间[0,1]内有一个根，使用二分法求－4误差不超过0.5×10的根要迭代多少次？证明令f(x)＝1－x－si
16、nx，∵f(0)=1>0，f(1)=－sin1<0∴f(x)=1－x－sinx=0在[0，1]
