科学与计算工程办法第5章.pdf

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1、第五章数值积分§5.0引言§5.1机械求积公式§5.2Newton-Cotes公式§5.3变步长求积公式及其加速收敛技巧§5.4Gauss公式§5.5小结1§5.0引言1.定积分的计算可用著名的牛顿-莱布尼兹公式来计算:b∫fxdxFbFa()=−()()a其中F(x)是f(x)的原函数之一，可用不定积分求得。然而在实际问题中，往往碰到以下问题：(a)被积函数f(x)是用函数表格提供的；(b)被积函数表达式极为复杂，求不出原函数，或求出原函数后，由于形式复杂不利于计算；(c)大量函数的原函数不容易或根本无法求出，例如12−x∫edx，概率积分01sinx∫dx,正弦型积

2、分0xπ24Ir2⎛⎞x2H()xd=−1⎜⎟sinθθrx22−∫0⎝⎠r回路磁场强度公式等根本无法用初等函数来表示其原函数，因而也就无法精确计算其定积分，只能运用数值积分。2所谓数值积分就是求积分近似值的方法。而数值积分只需计算f()x在节点xii(1=,2,,"n)上的值，计算方便且适合于在计算机上机械地实现。2§5.1机械求积公式1数值积分的基本思想b区间[a,b]上的定积分∫fxdx()，就是在区间[a,b]内取n+1个点ax01,,,xx"n，利用被积函数f(x)在这n+1个点的函数值的某一种线性组合来近似作为待求定积分的值，即bn∫fxdx()≈∑Afxk

3、k()ak=0右端公式称为左边定积分的某个数值积分公式。其中,xk称为积分节点，Ak称为求积系数。因此，一个数值积分公式关键在于积分节点xk的选取和积分系数Ak的决定，其中Ak与被积函数f(x)无关。称为机械求积公式。1.1简单算例说明x1例1求积分∫fxdx()x0此积分的几何意义相当于如下图所示的曲边梯形的面积。解：（1）用f(x)的零次多项式yLxfx==00()()来近似代替fx(),于是，xx11fxdx()≈fxdx()∫∫0xx00=−fxxx())(（为左矩公式）0013推广:xx11fxdx()≈fxdx()∫∫1xx00=−fxxx()()（为右矩公

4、式）110xx11xx+01∫∫fxdx()≈f()dxxx002xx+=f()01(xx−)（为中矩公式）102（2）用f(x)的一次多项式xx−xx−10Lx()=+f()xf()x101xx−−xx0110来近似代替fx(),于是，xx11fxdx()≈Lxdx()∫∫1xx00x1⎛⎞xx−xx−10=+⎜⎟fx()fxdx()∫01x0⎝⎠xx−−xx01101（为=−()x10xfxfx[](0)+(1)2梯形公式）4（3）用f(x)的二次插值多项式,其中xxx01<′<()xxxx−−′()()xxxx−−()101L()xf=+()xf()x′20()x

5、xxx−−′′()()xxxx−−()′00101()xxxx−−()′+0fx()1()xxxx−−()′101来近似代替fx(),于是，xx11fxdx()≈Lxdx()∫∫2xx001xx′=+(x)特别地：当201时，有x1()xx−+⎡xx⎤1001fxdx()≈+fx()4(f)+fx()∫x⎢01⎥062⎣⎦5（为Simpson公式）2代数精确度bnb∫fxdx()≈∑Afx()kk定义：若积分∫fxdx()的数值积分公式ak=对于任意a0一个次数不高于m次的多项式都精确成立，且存在一个m+1次多项式使之不精确成立，则称该数值积分公式的代数精确度为m。对于

6、代数精确度为m的求积公式，若f(x)是不超过m次的代数多项式，求积公式是精确成立的。2.1算例例1:有积分公式:11∫fxdx()≈−[]f()120++f()()f1−12求该积分公式的代数精确度。这个求积公式的几何意义是曲边梯形的面积近似地用两个梯形面积来代替。Yf(0)f(-1)f(1)-101X61解：(1)取f(x)=1，定积分∫12dx=,−11而数值积分[]1212++=，两端相等；21(2)取f(x)=x，定积分∫xdx=0,−11而数值积分⎡⎣()−+×+=12010⎤⎦，两端相等；2122xdx2=(3)取fxx()=，定积分∫−13,122⎡⎤()

7、−+×+=12011而数值积分2⎣⎦，两端不相等；只要取f(x)=1，f(x)=x验证了上述求积公式精确成立，就意味着对于任意一2个一次多项式，求积公式都是精确成立的；而取fxx()=时求积公式不精确成立，也就是存在一个二次多项式使求积公式不精确成立；故该求积公式的代数精确度为1。例2：在如下求积公式中，求积分节点x12,x和相应的求积系数AA12,使其代数精确度尽可能高。1∫fxdxAfx()=+1122()Afx()−11解：(1)f(x)=1,∫−11dx=2,而数值积分为A12+A；得到方程AA12+=2；71(2)f(x)=x，