张永德教授量子力学讲义 自旋答疑.pdf

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1、一些自旋算符及它们组成的Hamiltonian讨论1r[问题I]，单个自旋向任一方向e的投影算符e。rr2r21)算符e为书上已研究过的（p.204-205）。它满足eI，rr所以其本征值为1，其本征函数cosexpii2sinexp222eerr;sinexpii2cosexp222所以可将它写为它本身的谱表示：eeeeerrrrr

2、2)计算对易子ei,1,2。下面略去脚标i1,2。iri先计算e,：rxenrx,,xxynyznzx222ininizyyzerx于是有eirr,2e3)再往算el,r先算轨道角动量的l分量的对易子：zxyzelrz,,ixyzxyyxierzrrr于是有elierr,

3、4)再往算eJ,,elSrr总之有1eJ,,0elrr2于是，这种e算符将保持此费米子的总角动量不变。r25)再往算e,。r12显然，由于单个自旋的3，有22er,026)再往算el,r2elrr,,elllelr,ierrlileie

4、rllerierrlle为计算le，先算它的x分量：rzyzyleryzllizxxzxyxyxrrrr2xz11zy2xyiz33xxzzxxzxxyy33xyyxrrrrrrrr2xzyillyzrrr于是有lerr2ieelr最后得2elrr,2ieli

5、er22rerreer22reerrrer7)再往算els,r112222elsrr,,eJlselr,22即有212elsrr,,elielirer2※※※1[问题II]，两个自旋算符Se3e的研究。121rr2122它们之间相互作用的形式，除纯粹含r

6、p,的部分以外，其中主要组成部分是如下形式Se1231rr2e12现在来分析这种算符的各种性质。1)这种形式下的S对全空间方位角的等权积分为零。12Sd0124因为ensincos,sinsin,cos,n,n，所以有r1233Sn123ijnij1,i2,jij,1223ddsinSdd12sin1,iji2,3nnjij0000ij1341,i2,j340ijij

7、ij13因此，S只对相对运动为非球对称的空间概率分布起作用，它在s态12中平均值为零，不起作用。2)它的本征值为：S4,0,2,212解1：由[1]第222页，利用自旋投影算符和自旋交换算符P来表示这12个S，即知它的平方满足下面二次方程式122SPSP12221211241210于是利用2PP11，将P本征值代入，即得下面两个方程12121232PS1:2S80,S4,2121212122PS1:6S0,S0,612121212然而，现在S有一个重根S2，重数为2。这会导致出现一个虚

8、假的1212S6根。究其原因是由于，在S有重根的情