微积分讲义_第一章-函数及其图形.pdf

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1、第一章函数及其图形1.1预备知识一、基本概念1.集合具有某种特定性质的事物的总体。组成这个集合的事物称为该集合的元素。2.包含关系集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，称为A包含于B，或B包含A。若XA，则必xB，就说A是B的子集，记作AB数集分类：N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集数集间的关系：NZ,ZQ,QR.3.相等关系若AB，且BA，就称集合A与B相等。记作（A＝B）例1则A＝C.【答疑编号11010101：针对该题提问】4.空集不含任何元素的集合称为空集（记作）。规定空集为任

2、何集合的子集。例2【答疑编号11010102：针对该题提问】5.集合之间的运算1)并：由中所有元素组成的集合称为A和B的并集，记为AB例3【答疑编号11010103：针对该题提问】例4【答疑编号11010104：针对该题提问】2）交：由既属于A又属于B的元素组成的集合称为A和B的交集，记为AB例5【答疑编号11010105：针对该题提问】例6【答疑编号11010106：针对该题提问】3）差：由A中不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集，记为A-B例7【答疑编号11010107：针对该题提问】二、绝对值1.绝对值的定义：2

3、.绝对值的性质：（1），当且仅当a＝0时，（2）（3）（4）3.绝对值的几何意义：（1）表示数轴上的点x与原点之间的距离为a。（2）表示数轴上的两点x与y之间的距离为a。4.绝对值不等式：k>0时，则有k>0时，则有例8，求x的值。【答疑编号11010108：针对该题提问】答案：x=±55.绝对值的运算性质：例9化去下列各式绝对值的符号：（1）【答疑编号11010109：针对该题提问】（2）【答疑编号11010110：针对该题提问】（3）【答疑编号11010111：针对该题提问】（4）【答疑编号11010112：针对该题提

4、问】例10解下列含有绝对值符号的不等式：（1）【答疑编号11010113：针对该题提问】（2）【答疑编号11010114：针对该题提问】（3）【答疑编号11010115：针对该题提问】三、区间是指介于某两个实数之间的全体实数，这两个实数叫做区间的端点。以上区间都叫有限区间这两种形式的区间叫无限区间区间长度的定义：两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.四、邻域设a与是两个实数，且>0，数集称为点a的邻域，记作U(a)。点a叫做这个邻域的中心，叫做这个邻域的半径。点a的去心邻域，记作。区间与邻域的关系：例11解不等式并用

5、区间表示不等式的解集：（1）【答疑编号11010116：针对该题提问】（2）【答疑编号11010117：针对该题提问】1.2函数一、函数的概念1.定义设x和y是两个变量，D是一个给定的数集，如果对于每个x∈D，变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作数集D叫做这个函数的定义域，当时，称为函数在点处的函数值。函数值全体组成的数集称为函数的值域。2.函数的两要素：定义域与对应法则。约定：定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值。例1、【答疑编号11010201：针对该题提问】例2、【答疑编号110

6、10202：针对该题提问】例3、判断下列两个函数是否相等【答疑编号11010203：针对该题提问】例4、求函数的定义域【答疑编号11010204：针对该题提问】例5、符号函数【答疑编号11010205：针对该题提问】3.分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同的式子来表示的函数，称为分段函数。例6、【答疑编号11010206：针对该题提问】例7、求下面分段函数定义域并画出图形。【答疑编号11010207：针对该题提问】例8、将下面函数化为分段函数【答疑编号11010208：针对该题提问】二、函数的表示法1.图象法2

7、.表格法3.解析法1.3函数的特性一、函数的有界性若有成立，则称函数f（x）在X上有界，否则称无界。例9、判断下面函数在其定义域是否有界（1）符号函数y＝sgnx【答疑编号11010209：针对该题提问】（2）y＝x2【答疑编号11010210：针对该题提问】2.函数的单调性：设函数f（x）的定义域为D，区间I∈D，如果对于区间I上任意两点及当时，恒有则称函数f（x）在区间I上是单调增加的；设函数f（x）的定义域为D，区间I∈D,如果对于区间I上任意两点及，当时，恒有则称函数f（x）在区间I上是单调减少的。例10、求y＝x

8、2的单调性【答疑编号11010211：针对该题提问】例11、求y＝sinx的单调性【答疑编号11010212：针对该题提问】3.函数的奇偶性：设D关于原点对称，对于，有称f（x）为偶函数；设D关于原点对称，对于，有f（-x）=-f（x）称f（x）为奇函数。4.函数的周期性：设函数f（x）的定义域为D，如