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1、第第66章章线性代数方程组的解法线性代数方程组的解法第6章线性代数方程组的解法本章重点和应掌握的内容•高斯消去法和三角分解法的原理和算法步骤.•二维等带宽存储和一维变带宽存储的各自特点和各自适合的系数矩阵特点及直接解法.•分块解法的原理和实施方案.•几种常见迭代解法的原理和计算步骤,以及它们的各自特点.第6章关键概念高斯循环消去法三角分解法二维等带宽存储一维变带宽存储分块解法迭代解法超松弛迭代法梯度法共轭梯度法预条件共轭梯度法第6章复习题1.循环消去法在消元完成后得到什么矩阵,有什么特点?2.三角分解法在分解完成后得到什么矩阵,与循序
2、消去法最后得到的矩阵有何关系?3.循环消去法和三角分解法在计算步骤上有何区别?你能利用6.4.1节对高斯消去法进行再分析的原理导出三角分解法的计算步骤吗?4.什么是二维等带宽存储,什么是一维变带宽存储?二者有何优缺点?5.为什么在循环消去法中系数矩阵消元行的元素在消元前必须集成完毕?而被消元行的元素可以消元和集成交替进行?6.对于多组载荷情况为什么系数矩阵的消元或三角分解只要进行一次?如何实现多组载荷的求解?7.分块解法的理论依据是什么?如系数矩阵采用二维等带宽储存,什么是它的工作三角形,它在分块解法中起什么作用.8.什么是超松弛因子
3、,它在迭代法中有何作用?9.如何理解对于对角优势相对较弱的系数矩阵,超松弛因子w的最优值相对较大?在相同w的取值条件下,收敛速度较慢?10为什么迭代解法可以最大限度节省计算机存储?在编程中如何利用此特点?11.梯度法和共轭梯度法的相同点和不同点是什么?为什么后者有较快的收敛速度?12.什么是预条件共轭梯度法?如何选择预条件矩阵,才能达到提高计算效率的目的?Chap.6线性代数方程组的解•引言•Gauss消去法及其变化形式•带状系数矩阵的直接解法•利用计算机外存的直接解法•迭代解法•小结§§6.16.1引言引言§§6.16.1引言引言一
4、.有限元的求解方程((静力平衡问题静力平衡问题))Ka=P~~~对于弹性(材料线性)小变形(几何线性)问题K不随a的变化而变化。~~Ka=P是一组线性代数方程组。~~~Chap.6线性代数方程组的解线性代数方程组的解法1.直接解法直接解法：：适用于小于适用于小于1000010000阶阶的方程组。的方程组。以高斯消去法为基础，以高斯消去法为基础，求解效率高求解效率高。。2.迭代解法迭代解法：：当当方程组阶数过高方程组阶数过高时，由于计算机时，由于计算机有效位数的限制，直接解法中舍入有效位数的限制，直接解法中舍入误差的积累影响精度，误差的
5、积累影响精度，可采用迭代可采用迭代解法解法。。注：常用的是直接解法，随着计算机的大型化，注：常用的是直接解法，随着计算机的大型化，高速度，软件系统的发展，允许求解阶数也高速度，软件系统的发展，允许求解阶数也大大的提高。大大的提高。§§6.26.2GaussGauss消去法及其变化形式消去法及其变化形式§§6.26.2GaussGauss消去法及其变化形式消去法及其变化形式§§6.2.1Gauss6.2.1Gauss循序循序消去法消去法______直接解法的基础对于对于nn阶线性代数方程组的求解：阶线性代数方程组的求解：11..消元消元
6、(n)⎡a11a12......a1n⎤⎧x1⎫⎧P1⎫⎡b11b12......b1n⎤⎧x1⎫⎧P1⎫⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪(n)⎪aa......axP0b......bxP⎢21222n⎥⎪⎪2⎪⎪⎪⎪2⎪⎪⎢222n⎥⎪⎪2⎪⎪⎪⎪2⎪⎪⎢MMOM⎥⎨M⎬=⎨M⎬⎢MMOM⎥⎨M⎬=⎨M⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢MMOM⎥⎪M⎪⎪M⎪⎢MMOM⎥⎪M⎪⎪M⎪⎢aa......a⎥⎪x⎪⎪P⎪⎢00......b⎥⎪x⎪⎪P(n)⎪⎣n1n2nn⎦⎩n⎭⎩n⎭⎣nn⎦⎩n⎭⎩n⎭nn阶线性代数方程组，阶线性代数方程组，共需进
7、行共需进行nn--11次消元次消元..第第mm次消元：次消元：•以第m-1次消元结果为基础，(m−1)•第m行元素为消元行，Kmm为主元。•仅对m+1n行元素进行消元，并将m列元素中m+1n消为0。对对ii行行mm列列((i>mi>m))的消元公式，的消元公式，（将（将mm列从列从m+1m+1个元素开始变为个元素开始变为00））(m-1)⎧(m)(m-1)Kim(m-1)(m-1)(m-1)K=K-K=K-lK⎪ijij(m-1)mjijm+l,mmjK⎪mm⎪⎨⎪(m-1)⎪(m)(m-1)Kim(m-1)(m-1)(m-1)P=P
8、-P=P-lPiim(m-1)im+l,mm⎪⎩Kmmm=1,2,......ni,j=m+1,m+2,......n-m令：令：i=m+l,l=1,2,......n-m(m-1)(m-1)KKimm+l,m−(m-1
