基本几何01-基本理论.ppt

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1、第4章基本几何之一——基本理论2002年10月24日14.1引言完整地叙述了一种以向量几何为理论、以“方向性”概念为基础的几何计算理论体系统一描述点、线（向量）、圆（弧）等基本几何及曲线和图形等的表示；对基本几何建立方向的概念，探索基本几何的方向定义以及它对几何计算效率的影响；构建距离、面积、角度、分比、几何连接和封闭图形的边界走向等几何属性的新涵义、新体系；引入“交点特征”的概念；在此基础上研究几何计算的稳定性和算法的复杂性理论。.24.1引言.详细阐述了它的基本理论、思想方法、几何结构、几何问题处理以及它们的算法

2、与复杂性分析等。34.1引言.它在解决几何交、切运算，包容性测试，几何造型，布尔运算等几何计算的奇异情况处理中的重大作用：如何有效地将二维布尔运算降为一维向量计算将三维布尔运算下降为二维布尔运算.将三维线消隐算法最终归结为一维交集算法等等44.1引言“交点特征”和“几何方向”的优越性发挥得淋漓尽致使这些在基本几何的新体系上构筑的典型几何算法变得出奇的简单。54.1引言在开发一个计算机图形系统的时候，都必须与基本几何元素点、直线和圆（圆周和圆弧段）有关。由于实际问题的大部份都出现于平面上，而平面上的曲线又可转化为由直线

3、段和圆弧段构成，故平面图形能涉及的几何元素只包括点、直线和圆（圆周和圆弧段）三种。在图形的相互关系处理中，点实际上不独立构成图形的某一部份（只是作为一种标识），因此，基本几何只是直线和圆（弧）两种，用这两种基本几何元描述所有图形。64.1引言两者具有良好的几何不变性质，它们的建立和相交处理都比较简单，所构造图形的处理（如图形面积、周界长度，图形形心等的求取）都较为简易。由于产生这两种几何元的插补原理简单，插补机成本较低，目前的自动绘图机和数控切割机都采用直线和圆弧插补形式。因此，对这两种几何元的研究是平面图形处理的基

4、础性工作。74.1引言直线和圆（弧）的定义和它们之间的相互关系虽然并不复杂，但是作为描述所有图形的基础，使用广泛，因此其定义的严密性，以及处理的效率就显得至关重要。需要深入地研究这两种几何元的有关问题，建立一套完整的、正确的和有效的基本几何——直线、圆（弧）定义和求解系统。84.2基本几何的描述94.2.1直线的描述1）直线的二点式方程设直线通过点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)，则直线方程可表示为：上述描述形式用作计算机内表示并不可取，因为需要特别注意：x2-x1=0或y2-y1=0两种状态以防止计算时溢出。

5、104.2.1直线的描述2）直线的参数方程如果把1）式左式的值记为t，就有：这是一种较好的直线描述方式，优点是：直观，直线通过的两点明显地表现在方程之中；能够描述任何形式的直线；参数t有明显的几何意义：当：t∈[0,1]，表示P1P2间的线段；t∈（-∞,∞）表示通过P1P2的无穷直线。114.2.1直线的描述3）直线的标准方程设若将式1）式左式两端同乘以(x2-x1)且移项，则有(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0令A=y2-y1B=-(x2-x1)C=-(Ax1+By1)就得到直线的标准方程

6、：Ax+By+c=0124.2.1直线的描述直线的标准方程的优点在于它能够表达二维平面上的任何直线。向量a=(A,B)表示直线的法向。平面上任何点P(xp,yp)到直线的距离可表示为：当D＞0时，表示P在直线的正侧；D＜0时，表示P在直线的负侧；D＝0时，表示P点在直线上。134.2.1直线的描述标准直线方程在计算机图形处理中常作为直线的描述，它以向量L＝（A,B,C）的形式存放。显然，若改变系数（A,B,C）的符号也可得到同一条直线的方程，但是直线的正、负侧，即直线的方向改变了。为了今后图形处理的方便，本教程将只采

7、用下列直线方向：点P1到P2的直线方向的右侧为正侧左侧为负侧（同y轴方向）144.2.1直线的描述4）直线的法线式方程若对直线的标准方程式同除以因子就成为：记为ax+by+c=0其中，154.2.1直线的描述直线的法线式方程中a和b有明显的几何意义：a=sinα，b=-cosαα是直线正向（保证直线右侧为正，左侧为负的方向）与x轴正向的夹角，且a2＋b2＝1164.2.1直线的描述直线的法线式方程除了具有标准方程的优点外，还具有3个特点：计算点到直线的距离时，只要把点直接代入直线的方程计算出函数值即可。由于直线方程的

8、系数给出了法向的正弦和余弦，在考虑与直线角度有关的曲线元相关计算中特别方便。由于其法向量系数具有单位模长，它在以直线为新轴的坐标变换中特别方便。174.2.1直线的描述描述直线的形式尚有截距式、点斜式等多种，但是在计算机图形处理的理论和实践中值得推荐的是上面四种。特别是：直线的参数方程直线的法线式方程ax+by+c=0184.2.2圆的描述圆的