数理方程特殊函数.ppt

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1、1数理方程与特殊函数2本次课主要内容(一)、行波法(二)、积分变换法行波法与积分变换法习题课3(一)、行波法1、要点回顾(1)行波法的适用范围是什么？答：波动方程的初值问题。(2)行波法求解波动方程定解问题的要领是什么？答：引入变量替换，将方程化为变量可积的形式，从而求出其通解；用定解条件确定通解中的任意函数(或常数)，从而求出其特解。4(3)无限长弦的自由振动问题的达朗贝尔公式是什么？公式的物理意义是什么？答：(a)公式为：(b)物理意义：弦上的任意扰动总是以行波形式分别向弦的两个方向传播出去，传播速度正好是弦振动方程中的系数a。(4)如何求解无限长弦的纯强迫振动问题

2、和一般强迫振动问题？5答(a)纯强迫振动定解问题为：求解方法：齐次化原理(b)一般强迫振动定解问题为：6求解方法：利用函数分解方法对定解问题进行拆分答：(a)公式为：(5)三维自由振动的泊松公式是什么？公式的物理意义是什么？(b)物理意义：1)空间任意一点M在任意时刻t>0的状态完全由以该点为心，at为半径的球面上的初始扰动决定；2)当初始扰动限制在空间某局部范围内时，扰动有清晰的“前锋”与“阵尾”，即惠更斯原理成立。7答：(a)公式为：(5)二维齐次波动方程柯西问题的泊松公式是什么？公式的物理意义是什么？(b)物理意义：1)空间任意一点M在任意时刻t>0的状态完全由以

3、该点为心，at为半径的圆盘域上的初始扰动决定；2)局部初始扰动对二维空间上任意一点的扰动有持续后效，波的传播有清晰的前锋而无后锋，惠更斯原理不成立。82、典型题型(1)利用行波法求解例1、求下面柯西问题的解：解：特征方程为：特征线方程为：9令：变换原方程化成标准型：通解为:代入条件得：10例2、求波动方程的古沙问题11解：方程通解为：由(2)得：又由(3)得：由(4)与(5)得：12所以：又由(4)得：所以：(2)半无界问题的求解采用延拓或行波方法求解13例3、半无限长杆的端点受到纵向力F(t)=Asinωt的作用，求解杆的振动。解：定解问题为：Fun

4、x=0.YS0x

5、14解：方法1：延拓法首先，当x>at时，端点的影响没有传到，所以有：其次，当x

6、、积分变换法1、要点回顾(1)什么叫积分变换？答：所谓积分变换，就是把某函数类A中的函数f(x)，经过某种可逆的积分方式：变成另一类B中的函数F(P)。其中F(P)称为像函数，f(x)称为原像函数，k(x,P)称为积分变换的核。(2)积分变换法求解数理方程的步骤是什么？22答:(a)对方程和定解条件中的各项作针对于某变量的积分变换，得到像函数满足的方程;(2)积分变换法求解数理方程的步骤是什么？(b)求出像函数；(c)求出原像函数。(3)傅立叶变换与拉普拉斯变换适用的数理方程对象是什么？分别针对于什么变量作变换？答：傅立叶变换多用于求解半无界(正，余弦变换)和全无界初值

7、问题。一般针对空间变量作变换；拉氏变换常用于23带有边界条件的定解问题。常针对时间变量作变换。(4)叙述傅立叶变换、逆变换，傅立叶正余弦变换、逆变换和拉普拉斯变换、逆变换的定义(略）(1)、利用定义与性质求函数的积分变换(5)叙述(4)中各种变换的主要性质(略)和变换存在定理(略)2、典型题型24例6、求下列函数的傅立叶变换只对(5)进行讲解，其余留为课后练习。25解法1：令由于26所以得：解此微分方程得：利用相似性质：27解法2：由傅立叶变换的定义考虑复变函数沿下图所示的围道积分。C1C2C3C4xyo-RR28由柯西积分定理得：由于所以：29即得：于是由*得：同理：

8、所以得：30例8求函数f(x)的拉普拉斯变换31解:(1)由拉氏变换定义有：32(2)由拉氏变换定义有：33同理：(3)由拉氏变换定义有：34例9求下列函数的拉氏变换解:(1)令：f(t)=tm，则f(m)(t)=m!，且：由微分定理：35(2)由于由位移定理得：36(3)由像函数微分性质同理：37例10求的逆变换解因为f(s)的奇点是两个极点s1=-α,s2=-β.前者是一阶极点，后者是二阶极点，所以，由展开定理：(2)、利用展开定理求拉普拉斯逆变换(重点)38(4)、简单证明题例12、设f(t)在[0,+∞]上以T为周期，且f(t)在