2010年全国高中数学联合竞赛加试(A卷)试题解答集锦.pdf

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1、弘竞赛之路往考线瓮擘10每拿国高中i数学i,联合蠢赛伽试(豢)。溅磨解簪翁锶陈孝庚(西安交通大学附属中学)广隶(陕西省数学竞赛委员会)王强芳黄科(广西南宁市第三中学)。一、(本题满分40分)如图1，锐角AABC的外心．．0K上BC．为0，K是边BC上一点(不是边BC的中点)，D是线从而，K为BC的中点，矛盾．段AlK延长线上一点，直线BD与AC交于点N，直故A、B、D、C四点共圆．线CD与AB交于点M，求证：若OK上MN，则A、B、证法2：如图2，延长D、C四点共圆．0K交MN于点L，连结证法1：用反证法．若BL、CL、0B、0C．A、B、D、C不四点共圆，先证BLK一CLK设△ABC

2、的外接圆与显然，BC与MN不c-平行(否则，K为BC的MLAD交于点E，连结BE图2并延长交直线A，、，于点中点，矛盾)，设直线BC与MN交于点S．Q；连结CE并延长交直由直线SMN截△ABC，应用梅涅劳斯定理，得线AM于点P．连结PQ．图1AMBSCNMBSCNA设△ABC的外接圆()的半径为r，则在△ABC中，直线A_K、BN、CM交于点D，应用PK一P的幂(关于(三)0)+K的幂(关于o0)塞瓦定理，得一(P()2一r。)+(K02一r)．AMBKCN．同理，QK。=(Q(一r2)十(K()2一r)．MBKCNA两式相减，得PK。一QK。一Po2一Q()2，．BSBK‘—SCKC

3、。．．0K—LPQ．‘．’OK上MN，BS's△BLsBLsin【BLSBLcosBLK_订一—一SCS△盯

4、sCLsin,~CLSCLCOSCLK’．．PQ／／MN．于是，一．①同理，丽BK一豢，．COSBLKsinBLK—由直线PEC截△AMD、直线QEB截△AND，—COSCLK—sinCLK’应用梅涅劳斯定理，得即sin2BLK—sin2CLK．‘PM．CD．EA一】，’②．BLK和CLK均为锐角，．·BLK一／CLK．．．丝一1oNBDEA‘．③再证0、B、L、C四点共圆．在△OBL和△OCL中，由正弦定理，得由①②③，得一．OLOBOC．——．——．——sinOBLsinZ

5、BLKsinZCLKsiOCL’由分比定理，得一．’．．sin／OBL—sinOCL，’．．．BC／／MN．．．0BL一()(1L或0BL+0CL一180。．叉0KIMN，若0BL一OCL，则△OBLco△OCL，从而BL_f壬考绞缘竞蔸赛贾之Z路跆_f壬’甙2010年第12瑚(上旬)中学教学教学参考一CL．对于≥1，设尼的二进制表示具有形式又0B—OC，0K上MN，是一2+al·2+a2·2+⋯，‘．．OK上BC．这里，a一0或1，i一+1，+2，⋯．‘．．K为BC的中点，矛盾．。于是厂r，一(愚+吉)f忌+丢1一(志+丢)+．．OBL+OCL一180。，。一．．0、B、L、C四点共

6、圆．++志最后证A、B、D、C四点共圆．一’÷+2一+(‰1+1)·2+(口+l+a2)．’BLC一180。一BoC===180。一2BAC，BLC=180。一BLM～CLN=180。一2BLM，·2+⋯+2。+⋯‘．．BAC一BLM，是+1一，①‘．．A、B、L、N四点共圆．同理，A、C、L、M四点共圆．这里，尼===2一+(aTJ_l+1)·2+(al+口+2)连结AL、DL，则·2一+⋯+2。+⋯．CML一CAL一NBL．显然，忌中所含的设知，r，一是+丢经过2的幂次为一l_故由归纳假‘．．B、D、L、M四点共圆．厂的次迭代得到整数，由①‘．．BDM一BLM=BAC．知，f(r)

7、是一个整数．故A、B、D、C四点共圆．证法2：设尼一2mr(m为非负整数，t是正奇数)，说明：在证法1中，“PK一P的幂(关于o0)故只需证”(r)为整数．+K的幂(关于o0)”的证明如下：对m用数学归纳法．若点E在线段A_D上，延长PK到F，使PK·KF=AK·KE．(当一0时，r===十寺一￡+÷，fr1一z+1．．．P、E、F、A四点共圆，·．．’厂(r)一(￡+1)(￡+1)一f(十1)+∈z．．．PFE=PAE=BCE．从而E、C、F、K四点共圆，于是假设是一2t(m为非负整数，t是正奇数)时，PK·PF—PE·PC．⑤f“”(r)是整数．那么，当志一2t时，⑤一④，得r==

8、=忌+寺一2z+寺，fr]一2+1．PK。一PE·PC—AK·KE·—P的幂(关于o0)+K的幂(关于o0)．··厂(r)一(2m+lt+专)(2+1)若点E在线段AD的延长线上，完全类似．一2+。f(2f+1)+2￡+去．二、(本题满分4O分)设忌是给定的正整数，r一是令r一2(2t+1)+2rot，贝42lr，2。。r．+寺．记(r)一，(r)一rfr1，(r)一f(f”(r))，z根据归纳假设，可得-厂(r)∈Z．≥2．证明：存在正整数，