《线性方程组的解法》PPT课件.ppt

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1、第二章线性方程组的解法设有n元线性方程组或记为其中(2.1)(2.2)设系行列式则方程组(2.1)有唯一解。解线性方程组的两类方法直接法如果不计运算过程的舍入误差，经过有限次运算后可得到方程组的精确解的方法。迭代法从解的某个近似值出发，通过构造一个无穷序列去逼近精确解的方法。迭代法一般在有限步内得不到方程组的精确解。Cramer法则由Cramer(克莱姆)法则，方程(2.1)的解为其中是将中第列换为列向量所得到的矩阵。如果用按照某行(或某列)展开的方法计算行列式，那么用Cramer法则求解一个n元线性方程组所需的乘法运算

2、次数为加法运算次数为当n较大时，这个计算量大得惊人。§2.1Gauss消去法消元过程写出方程组(2.1)的增广矩阵，并记§2.1.1顺序Gauss消去法若则施行第一次消元：计算对原增广矩阵被变换成将这一过程继续下去……步的计算过程为第若则施行第一次消元：对计算原增广矩阵被变换成若所有的则经过次消元得到：以以为增广矩阵的上三角线性方程组(2.3)与原方程组(2.1)是同解方程组。回代过程回代过程就是由方程组(2.3)的最后一个方程解然后通过逐步回代，依次求出出具体算法为例1用顺序Gauss消去法解以下线性方程组解用增广矩阵

3、表示法求解：消元过程回代过程同解方程组为乘除法次数顺序Gauss消去法的运算量消元过程加减法次数回代过程乘除法次数加减法次数总运算量乘除法次数加减法次数§2.1.2列主元Gauss消去法引例考虑用顺序Gauss消去法求解以下方程组，在运算中每次运算保留到小数点后四位。消元后的同解方程组为回代求解得与准确解相差很大。改进：对调方程消元后的同解方程组为回代求解得与准确解相差不大。误差分析：设准确解为顺序Gauss消去法求得的解为改进后的Gauss消去法求得的解为顺序Gauss消去法的误差则改进后的Gauss消去法的误差则列主

4、元Gauss消去法若1消元过程对选主元找使则计算停止，若则换行，消元对计算2回代过程则计算停止，若对否则例2§2.2直接三角分解法§2.2.1Doolittle分解法与Cout分解法如果方程组的系数矩阵A能分解成其中L是下三角矩阵，U是上三角矩阵，这时方程组就可化为两个容易求解的三角形方程组先由解出向量y,再由解出向量y这就是原方程组的解。(2.4)矩阵A分解成(2.4)的形式称为矩阵的三角分解。若L是单位下三角阵，则称相应的分解为Doolittle分解(也称为LU分解)。若U是单位上三角阵，则称相应的分解为Crout分

5、解。定理1矩阵有唯一的Doolittle分解的充分必要条件是A的前个顺序主子式定理2矩阵有唯一的Crout分解的充分必要条件是A的前个顺序主子式Doolittle分解法设矩阵非奇异，且A的前个顺序主子式都不为零。则A有Doolittle分解(2.5)由分解式(2.5)及矩阵的乘法知当时有Doolittle分解算法对对Doolittle分解表上作业法第1步第2步第n步利用LU分解求解线性方程组的算法先求解即所以再求解即回代求解例3利用Doolittle分解求解以下方程组解回代求解x§2.2.3追赶法求解三对角线性方程组设n

6、元线性方程组Ax=b的系数矩阵A为非奇异的三对角矩阵这类方程组具有许多明显的应用背景，这种方程组称为三对角线性方程组。分方程数值解、三次样条函数等问题中，在求微都会遇到这样的线性方程组。设A的前个顺序主子式都不为零，唯一的LU分解，则A有并且A的LU分解有如下形式其中向前“追”的过程往回“赶”的过程(2)对计算(1)求解三对角线性方程组的追赶法(1)(2)计算对表上作业的“追赶法”例4利用追赶法求解以下方程组解§2.4解线性方程组的迭代法直接法:经过有限次运算后可求得方程组精确解的方法(不计舍入误差!)如前面我们介绍过的

7、Gauss消去法和直接三角分解方法。迭代法：从解的某个近似值出发，通过构造一个无穷序列去逼近精确解的方法。（一般有限步内得不到精确解）直接法比较适用于中小型方程组。对高阶方程组，既使系数矩阵是稀疏的，但在运算中很难保持稀疏性，因而有存储量大，程序复杂等不足。迭代法则能保持矩阵的稀疏性，具有计算简单，编制程序容易的优点，并在许多情况下收敛较快。故能有效地解一些高阶方程组。§2.4.1迭代法概述迭代法的一般形式设n元线性方程组(1)的系数矩阵为n阶可逆方阵，从而此方程组有唯一的非零解向量。构造形如(2)的方程组，其中G为n阶

8、可逆方阵，任取作为(1)的初始近似解，按递推公式(3)产生向量序列当k充分大时，以作为方程组的近似解，这种求解线性方程组的方法称为迭代法。递推公式(3)称为迭代公式，其中G称为迭代矩阵。迭代矩阵的产生方法把系数矩阵A分解成两个矩阵N和P的差其中N是n阶可逆方阵，代入(1)式得即可取关于收敛性的概念定义设为中的向量序列