空间两条直线的位置关系.doc

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1、空间两条直线的位置关系知识点一空间两条直线的位置关系1．异面直线⑴定义：不同在任何一个平面内的两直线叫做异面直线。⑵特点：既不相交，也不平行。⑶理解：①“不同在任何一个平面内”，指这两条直线永不具备确定平面的条件，因此，异面直线既不相交，也不平行，要注意把握异面直线的不共面性。②“不同在任……”也可以理解为“任何一个平面都不可能同时经过这两条直线”。③不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线．也就是说，在两个不同平面内的直线，它们既可以是平行直线，也可以是相交直线．2．空间两条直线的位置关系⑴相交——在同一平面内，

2、有且只有一个公共点；⑵平行——在同一平面内，没有公共点；⑶异面——不同在任何个平面内，没有公共点．例1、正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论的序号都填上)答案：③④例2、异面直线是指____．①空间中两条不相交的直线；②分别位于两个不同平面内的两条直线；③平面内的一条直线与平面外的一条直线；④不同在任何一

3、个平面内的两条直线．变式1、一个正方体中共有　　　　　　　对异面直线．知识点二平行直线1．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.a∥bb∥cÞa∥c符号表示：ABCDB11A1C1B1D1ABCDEF2．等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.例3、如图在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E、F分别为AB、BC的中点，求证：EF∥A1C1.ABCDEFGHABCDEFGH折叠变式1、如图E、F、G、H是平面四边形ABCD四边中点，四边形EFGH的形状是平行四边形吗？为什么？如果

4、将ABCD沿着对角线BD折起就形成空间四边形ABCD，那么四边形EFGH的形状还是平行四边形吗？E1EA1C1B1D1ABCD1例4、如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E1、E分别为A1D1、AD的中点，求证：∠C1E1B1=∠CEB．知识点三异面直线1、异面直线的画法：为了充分显示出它们既不平行又不相交的特点，常常需要以辅助平面作为衬托，以加强直观性，如下图(l)，若画成如下图(2)的情形，就分不开了，千万不能画成(2)的图形。画平面衬托时，通常画成下图中的情形。2、异面直线的判定　⑴异面直线判定定理：过平面内一点与

5、平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线．⑵判定两条直线为异面直线的常用方法有：①定义法：不同在任一平面内的两条直线．②定理法：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线为异面直线．③推论法：一条异面直线上两点与另一条异面直线上两点所连成的两条直线为异面直线．④反证法：反证法是证明立体几何问题的一种重要方法，证明步骤有三步：一是提出与结论相反的假设；二是由此假设推出与题目条件或某一公理、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾结果；三是推翻假设，从而肯定与假设相反的结论，即命题的结论成立，3、异面直线

6、所成的角a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′//b，直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a，b所成的角．如下图所示．⑴异面直线所成角的范围是0°<≤90°；(2)为了求异面直线a，b所成的角，可以在空间中任取一点O，为了简便，点O常常取这里的点通常选择特殊位置的点，如线段的中点或端点或异面直线连线中点，也可以是异面直线中某一条上的一个特殊点.将这个角放入某个三角形中计算这个角的大小，若该三角形是直角三角形、等腰三角形等特殊三角形，便易求此角的大小.(3)我们规定：两条平行直线所成的角为0°角，两条相

7、交直线所成的角为这两条相交直线所成的四个角中的锐角（或直角），因此在空间中的两条直线所成的角的范围为(0°，90°]；特别地，若两异面直线所成角为90°，则称两异面直线互相垂直；(4)求异面直线所成角的一般步骤是：①构造　恰当地选择一个点，用平移法构造异面直线所成的角．②证明证明①中所作出的角就是所求异面直线所成的角，③计算　通过解三角形（常用余弦定理）等知识，求①中所构造的角的大小，④结论　假如所构造的角的大小为，若0°<≤90°，则即为所求异面直线所成角的大小；若90°<<180°，则180°－即为所求。例5、已知平面，直线直

8、线，求证：直线a和b是异面直线．例6、如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点，问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．解：(1)不是异面直线．理由如下：