线性代数 修订版 教学课件 作者 董晓波 电子课件 第四章4.5 二次型及其标准形.ppt

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1、二次型及其标准形§4.54.5.1二次型及矩阵表示定义含有个变量二次齐次函数称为元二次型，简称二次型．当都是实数时，这种二次型称为实二次型．下面只讨论实二次型．例如是一个三元二次型．称为二次型的标准形．例如都为二次型；为二次型的标准形．定义形如的二次型只含平方项（用和号表示）在二次型二次型的矩阵表示中，若令则有于是记其中的为对称阵.简记为则二次型的矩阵表示形式为显然，当时，是系数的一半.注：任给一个二次型，就唯一地确定一个对称阵；反之，任给一个对称阵，也可唯一地确定一个二次型.因此，二次型与对称阵之间存在一一对应的关系.定义若二次型的矩阵表示为其中为对称阵，则称为二次型的矩阵，

2、而为对称阵的二次型.定义若二次型的矩阵表示为其中为对称阵，则称对称阵的秩为二次型的秩.例设二次型求二次型的矩阵和二次型的秩.解该二次型的矩阵为例已知二次型解该二次型的矩阵为的秩等于2，求的值.所以由于的秩为2，则的秩为2，故即4.5.2用正交变换法化二次型为标准形利用正交变换化实二次型为标准形的实质是：对给定的二次型，确定一个可逆阵进而要求为正交阵，即对二次型做一个线性变换，也就是令即将二次型化简成关于新变量的标准形:其中由前面的知识知道，若为阶实对称阵，则必有正交阵使其中为对角阵，因此，上述设想在理论上是成立的.称为可逆线性变换，若为可逆矩阵.正交线性变换，若为正交矩阵.定义

3、设和是阶矩阵，若有可逆矩阵使则称矩阵与合同，或合同于注：合同也是矩阵的一种等价关系，具有反身性，对称性和传递性.定理设阶矩阵合同，若是对称阵，则也是对称阵，且定理任给二次型总存在正交变换使变成标准形其中是的矩阵的特征值.证明若为阶实对称阵，则必有正交阵使其中是的特征值，因此，令则有解例求一个正交变换把二次型化为标准形.二次型的矩阵为特征多项式为特征值为对于解方程得基础解系为单位化得对于解方程可得正交的基础解系为单位化得易知两两正交，令于是所求正交变换为即二次型的标准形为