2018_2019学年高中数学第一章导数及其应用1.3.3函数的最大（小）值与导数练习新人教A版.docx

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1、1.3.3函数的最大（小）值与导数[A　基础达标]1．函数f(x)＝x＋cosx在[0，π]上的(　　)A．最小值为0，最大值为B．最小值为0，最大值为＋1C．最小值为1，最大值为D．最小值为1，最大值为π－1解析：选D.f′(x)＝1－sinx．因为0≤x≤π，所以0≤sinx≤1，所以f′(x)≥0，即f(x)在[0，π]上是增函数，所以f(x)max＝f(π)＝π－1，f(x)min＝f(0)＝1，选D.2．函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3，0]上的最大值和最小值分别是(　　)A．1，－1

2、　　　　　　　　B．1，－17C．3，－17D．9，－19解析：选C.f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝±1.又f(－3)＝－27＋9＋1＝－17，f(0)＝1，f(－1)＝－1＋3＋1＝3，1∉[－3，0]，所以最大值为3，最小值为－17.3．函数f(x)＝－x在区间[0，＋∞)上(　　)A．有最大值，无最小值B．有最大值，有最小值C．无最大值，无最小值D．无最大值，有最小值解析：选A.由已知得f(x)的定义域为[0，＋∞)，f′(x)＝－，令f′(x)>0，得f(

3、x)的单调递增区间为[0，1)；令f′(x)<0，得f(x)的单调递减区间为(1，＋∞)．所以f(x)在区间[0，＋∞)上有最大值，无最小值．4．已知f(x)＝x2－cosx，x∈[－1，1]，则导函数f′(x)是(　　)A．仅有最小值的奇函数B．既有最大值，又有最小值的偶函数C．仅有最大值的偶函数D．既有最大值又有最小值的奇函数解析：选D.因为f′(x)＝2x＋sinx，则f′(－x)＝－2x－sinx＝－f′(x)，所以导函数f′(x)是奇函数，又因f″(x)＝2＋cosx>0，所以f′(x)在[－1

4、，1]上单调递增，故f′(x)max＝f′(1)，f′(x)min＝f′(－1)，所以f′(x)既有最大值又有最小值．(说明：f″(x)表示对f′(x)再次求导，即f′(x)的导函数)5．已知e是自然对数的底数，若函数f(x)＝ex－x＋a的图象始终在x轴的上方，则实数a的取值范围是(　　)A．(－1，＋∞)B．(－∞，－1)C．[－1，＋∞)D．(－∞，－1]解析：选A.因为函数f(x)＝ex－x＋a的图象始终在x轴的上方，所以f(x)＝ex－x＋a>0对一切实数x恒成立，即f(x)min>0.f′(x

5、)＝ex－1，令f′(x)＝0，解得x＝0，当x<0时，f′(x)<0，则f(x)在(－∞，0)上单调递减；当x>0时，f′(x)>0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以当x＝0时，f(x)取得极小值即最小值，最小值为f(0)＝1＋a，所以1＋a>0，即a>－1，故实数a的取值范围为(－1，＋∞)．6．函数f(x)＝在区间[2，4]上的最小值为________．解析：f′(x)＝＝，当x∈[2，4]时，f′(x)<0，即函数f(x)在[2，4]上单调递减，故当x＝4时，函数f(x)有最小值.答案：7

6、．设00；当0

7、因此g(x)的最大值为4，则实数a的取值范围是[4，＋∞)．答案：[4，＋∞)9．已知h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k，2]上的最大值是28，求k的取值范围．解：h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，h′(x)＝3x2＋6x－9.令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1，当x变化时h′(x)及h(x)的变化情况如下表：x(－∞，－3)－3(－3，1)1(1，＋∞)h′(x)＋0－0＋h(x)28－4当x＝－3时，取极大值28；当x＝1时，取极小值－4.而h(2)＝3

8、x)在区间[k，2]上的最大值为28，则k≤－3.10．已知函数f(x)＝alnx－bx2，a，b∈R，且曲线y＝f(x)在x＝1处与直线y＝－相切．(1)求a，b的值；(2)求f(x)在[，e]上的最大值．解：(1)f′(x)＝－2bx.由曲线y＝f(x)在x＝1处与直线y＝－相切，得，即，解得.(2)由第一问，得f(x)＝lnx－x2，定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝－x＝.令f′(x)>0，得0