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时间:2020-03-19
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1、切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长度,“切线长”是切线上一条线段的长,具有数量的特征,而“切线”是一条直线,它不可以度量长度。2.切线长定理如图1对于切线长定理,应明确(1)若已知圆的两条切线相交,则切线长相等;(2)若已知两条切线平行,则圆上两个切点的连线为直径;(3)经过圆外一点引圆的两条切线,连结两个切点可得到一个等腰三角形;(4)经过圆外一点引圆的两条切线,切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补;(5)圆外一点与圆心的连线,平分过这
2、点向圆引的两条切线所夹的角。3.弦切角(如图2):顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角。图2图1直线AB切⊙O于P,PC、PD为弦,图中几个弦切角呢?(四个)ÐAPC,ÐAPD,ÐBPD,ÐBPC4.弦切角定理:弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。即如上图中ÐAPC=ÐCDP等证明:如图2,连接CD、OC、OP,因为ÐCPO=ÐPCO,所以ÐCOP=180°-2ÐCPO而ÐCPO=90°-ÐAPC,故ÐCOP=2ÐAPC,即ÐCDP=ÐAPC。5.弄清和圆有关的角:圆周角,圆心角,弦切角,圆内角,圆外角。6.遇到圆的切线,可联想“角”弦切角
3、,“线”切线的性质定理及切线长定理。7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中,AB、CD为弦,交于P.PA·PB=PC·PD连结AC、BD,ÐC=ÐB,ÐA=ÐD,所以△APC∽△DPB相交弦定理的推论⊙O中,AB为直径,CD⊥AB于P.PC2=PA·PB用相交弦定理.切割线定理⊙O中,PT切⊙O于T,割线PB交⊙O于APT2=PA·PB连结TA、TB,则∠PTA=∠B(弦切角等于同弧圆周角)所以△PTA∽△PBT,所以PT2=PA·PB切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线,交⊙O于A、CPA·PB=PC·PD过P作PT切⊙
4、O于T,用两次切割线定理圆幂定理⊙O中,割线PB交⊙O于A,CD为弦P'C·P'D=r2-OP'2PA·PB=OP2-r2r为⊙O的半径延长P'O交⊙O于M,延长OP'交⊙O于N,用相交弦定理证;过P作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理:过一定点P向⊙O作任一直线,交⊙O于两点,则自定点P到两交点的两条线段之积为常数
5、
6、(R为圆半径),因为叫做点对于⊙O的幂,所以将上述定理统称为圆幂定理。例1.如图1,正方形ABCD的边长为1,以BC为直径。在正方形内作半圆O,过A作半圆切线,切点为F,交CD于E,求DE:AE的值。图1例2.⊙O中的两条弦A
7、B与CD相交于E,若AE=6cm,BE=2cm,CD=7cm,求CE。图2例3.已知PA是圆的切线,PCB是圆的割线,则________。例4.如图3,P是⊙O外一点,PC切⊙O于点C,PAB是⊙O的割线,交⊙O于A、B两点,如果PA:PB=1:4,PC=12cm,⊙O的半径为10cm,则圆心O到AB的距离是___________cm。图3例5.如图4,AB为⊙O的直径,过B点作⊙O的切线BC,OC交⊙O于点E,AE的延长线交BC于点D,求证:(1);(2)若AB=BC=2厘米,求CE、CD的长。图4例6.如图5,AB为⊙O的直径,弦CD∥AB,
8、AE切⊙O于A,交CD的延长线于E。求证:图5例7.如图6,PA、PC切⊙O于A、C,PDB为割线。求证:AD·BC=CD·AB图6例8.如图7,在直角三角形ABC中,∠A=90°,以AB边为直径作⊙O,交斜边BC于点D,过D点作⊙O的切线交AC于E。求证:BC=2OE。图7例9.如图8,在正方形ABCD中,AB=1,是以点B为圆心,AB长为半径的圆的一段弧。点E是边AD上的任意一点(点E与点A、D不重合),过E作所在圆的切线,交边DC于点F,G为切点。当∠DEF=45°时,求证:点G为线段EF的中点;图8【模拟试题】(答题时间:40分钟)一、选
9、择题1.已知:PA、PB切⊙O于点A、B,连结AB,若AB=8,弦AB的弦心距3,则PA=()A.20/3B.25/3C.5D.82.下列图形一定有内切圆的是()A.平行四边形B.矩形C.菱形D.梯形3.已知:如图1直线MN与⊙O相切于C,AB为直径,∠CAB=40°,则∠MCA的度数()图1A.50°B.40°C.60°D.55°4.圆内两弦相交,一弦长8cm且被交点平分,另一弦被交点分为1:4,则另一弦长为()A.8cmB.10cmC.12cmD.16cm5.在△ABC中,D是BC边上的点,AD=cm,BD=3cm,DC=4cm,如果E是AD
10、的延长线与△ABC的外接圆的交点,那么DE长等于()A.cmB.cmC.cmD.cm6.PT切⊙O于T,CT为直径,D为OC上一点,直线
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