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1、常微分方程一、可分离变量方程一阶可分离变量方程：0=竺，可分离变量，方程通解为：dxg(y)G(y)=f⑴+c二、一阶线性微分方程一阶线性微分方程：＞?，+p(x)y=Q(x),通解如下：当Q(x)=0时，上式称为线性齐次方程，通解为Iny--Cy=Ce^p(x)dx当0(兀)工0时，上式称为线性非齐次方程，通解为尸戶(识[腔(兀』g〃x+C]三、可降阶微分方程1、宀/(兀)对此类微分方程，多次直接积分即可求得通解。2、/=/(%,_/)—不显含p的二阶微分方程，令y=p,则p"=p‘，代入得p=/(X,p)，该一阶微分方程可求解，从而求得y=/(x)o3、yn-f{y,y)不显含x的二
2、阶微分方程，令_/=〃，则卩字，代入得dyp-~-=f(y^p)，该一阶微分方程可求解，再经分离变量可求得y=f(x)ody四、二阶常系数线性微分方程1、二阶常系数齐次线性微分方程尹"+刃/+妙=0,其中“、g为常数它的特征方程为尸2+"+q=0,其中尸为特征根。根据尸的情况，二阶常系数齐次微分方程的通解如下:⑴人、存为两个不等实根时，方程的通解为尹=(2)斤、r2为两个相等实根时(斤=r),方程的通解为y=(C}+C2x)e,x;(3)r{、q为一对共辄复根a±pi时，方程的通解为y=eax(C{cosfix+C2sinfix)；2、二阶常系数齐次线性微分方程设y=yx)是非齐次线方
3、程尹"+刃/+妙=/(兀)，其中卩、g为常数的一个特解，y=y(x)是对应的齐次方程尹"+砂'+妙=0的通解，则该二阶线性非齐次微分方程的通解为y=y(x)+yx)。⑴当/⑴二伫⑴尹时，可设特解形式为y(X)=xkQm(x)eAX其中E为2作为特征根的重数(当2不是特征根时，A;取0；当2是特征单根时，比取1;当2是特征重根时，/取2)；当k、2确定后，将特解yx)=xkQm(x)eAx代入原二阶线性非齐次微分方程即可求得Q”(x)。(2)当f(x)=pt(x)coscox+pn(x)sincox时，可设特解形式为y(x)=x[Qm(x)coscox+Rm(x)sincox]其中p(
4、兀)、仇(兀)为别为？、刃次多项式；乞为复数,0作为特征根的重数(当血不是特征根时，k取0；当血是特征单根时，£取1;当血是特征重根时，£取2)；777=max{/,/2}当k、。确定后，将特解y(X)=xA[Qm(x)cosa)x+Rm(x)sincox]代入原二阶线性非齐次微分方程即可求得Qm(x)和Qm(x)o概率论与数理统计复习资料一、随机事件概率的计算公式1、求逆公式：P（可=1-卩（力）2、加法公式：P（&+B）=P（/）+P（B）_P（/B）当/与B不相容时，P（/15）=0,P（A+B）=P（旳+P（B）3、减法公式：P（B-A）=P（B）-P（AB）；当AuB时,P(A
5、)o,则有p（仏……<1）=p（j.）p（4/4）……P⑷仏……6、事件的独立性：事件力、B满足P{AB）=P（A}P（B）,则称事件力、0是相互独立的。若事件A、B相互独立，且P（A）>0,则有P(AB)P(旳P(B)尸⑺）7、全概率事件：设4、B、C是三个事件，如果满足两
6、两独立的条件，P（AB）=P（A）P（B）、P（BC）=P（B）P（C）、P（JC）=P（J）P（C）并且同时满足P（ABC）=P（A）P（B）P（C）那么力、B、C相互独立。对于刃个事件类似。8、贝叶斯公式：设事件色、％…、及/满足（1）3、B?…、两两互不相容，且P（Bz）>0,z=l,2,n(2),P(A)>Q?=1P(BJP(加B),i=1,2,…〃。j=i此公式即为贝叶斯公式。P(d)(i=l,2,../),通常叫先验概率。P(Bi/A),G=l,2,…刃)，通常称为后验概率。贝叶斯公式反映“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。9、伯努利概型：我们作了“次试验：每次
7、试验只有两种可能结果，/发生或/不发生〃次试验是重复进行的，即力发生的概率每次均一样；每次试验是独立的，即每次试验力发生与否与其他次试验/发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为〃重伯努利试验。用P表示每次试验/发生的概率，则刁发生的概率为-p=q,用仇(約表示〃重伯努利试验中/出现k(O
