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1、常微分方程一、可分离变量方程一阶可分离变量方程：空二竺，可分离变量，方程通解为：dxg{y)G(y)=f(x)^-C二、一阶线性微分方程一阶线性微分方程：/+p(x)y=Q(x),通解如下：当QM=0时，上式称为线性齐次方程，通解为Iny=-C或y=Ce~^P(x)dx当0时，上式称为线性非齐次方程，通解为尸貝pW[眩(xj^dx+c]三、可降阶微分方程1、宀/任)对此类微分方程，多次直接积分即可求得通解。2、yn=f(x,y)不显含尹的二阶微分方程，令y‘=p,则y"=p‘,代入得p'=f(x,p),该一阶微分方程可求解，
2、从而求得y=/(x)o3^y^=fy.y)不显含兀的二阶微分方程，令y'=p,则y^=p—,代入得dyP穿=fy,p)，该一阶微分方程可求解，再经分离变量可求得=f(x)ody四、二阶常系数线性微分方程1、二阶常系数齐次线性微分方程尹"+刃/+妙=0,其中p、g为常数它的特征方程为Y+pr+q-O,其中厂为特征根。根据厂的情况，二阶常系数齐次微分方程的通解如下:⑴斤、尸2为两个不等实根时，方程的通解为y=C^x+C2e^x；⑵斤、石为两个相等实根时(r{=r2=r),方程的通解为y=(C{+C2x)e^；(3)rx>r2
3、为一对共馳复根a±fii时,方程的通解为y=eax(Cxcosfix+C2sinfix)；2、二阶常系数齐次线性微分方程设y=yx)是非齐次线方程/+z?y+^=/(x),其中卩、g为常数的一个特解，y=^(x)是对应的齐次方程尹"+py+qy=^的通解，则该二阶线性非齐次微分方程的通解为y=y(x)+y(x)。⑴当/⑴胡(兀)戶时，可设特解形式为y(x)=xkQm⑴尹其中k为2作为特征根的重数(当2不是特征根时，E取0；当2是特征单根时，&取1;当2是特征重根时，/取2)；当k、2确定后，将特解y(x)=xkQm(x)e
4、Ax代入原二阶线性非齐次微分方程即可求得Q”(x)o(2)当/(x)=p,(x)coscox+pnCr)sin0x时，可设特解形式为y(x)=xk[Qm(x)coscox+Rm(x)sincox]其中P/(x)、几(x)为别为/、〃次多项式；£为复数,0作为特征根的重数(当Q不是特征根时，k取0；当血是特征单根时，佥取1;当血是特征重根时，k取2)；m=max{l,n}当k、血确定后，将特解y*(x)=xk[Qm(x)coscox+Rltl(x)sina)x]代入原二阶线性非齐次微分方程即可求得Q,n(X)和Qm(X)o概率
5、论与数理统计复习资料一、随机事件概率的计算公式1、求逆公式：尸（可=1-尸（力）2、加法公式：P（/+B）=P（/）+P（B）—P（/3）当/与B不相容时，P（^5）=0,P（A-fB）=P（A）+P（B）3、减法公式：P（B—4）=P（B）—P（4B）；当AuB时,P（力）5P（B）,P（B-A）=P（B）-P（A）当B=Q时，P（B）=,P（A）=-P（A）4、条件概率：设/、B是两个事件，且P（4）＞0,则称雪单为事件/发生条屮）件下，事件〃发生的条件概率，记为戶（8/力）=学?。P（£5、乘法公式：P[AB）=P
6、（A）P[B/A）。更一般地，对事件A2,…若p（4&……4,-i）＞o,则有卩（也……4J"（4）p（&/£）……P⑷也……4,-1）6、事件的独立性：事件/、〃满足P（AB）=P（A）P（B）,则称事件/、B是相互独立的。若事件A、B相互独立，且P（/）＞0,则有P(B/A)=P(AB)吃）P(旳P(B)7、全概率事件：设A、B、C是三个事件，如果满足两两独立的条件，P（MB）=P（A）P（B）、P（BC）=P（B）P（C）、P（/C）=P（QP（C）并且同时满足P（ABC）=P（4）P（B）P（C）那么力、B、C相互独
7、立。对于〃个事件类似。8、贝叶斯公式：设事件色、坊…、$及/满足（1）d、B?…、3“两两互不相容，且P（5）＞0,z=l,2,...,n(2)/u&,P(A)>0/=1P(B)P⑷B)P(Bi/A)=-£p(BJP(A/Bj)此公式即为贝叶斯公式。P(B)(i=l,2,...n),通常叫先验概率。P(Bi/A),(z=1,2,通常称为后验概率。贝叶斯公式反映“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。9、伯努利概型：我们作了力次试验：每次试验只有两种可能结果，/发生或/不发生〃次试验是重复进行的，即力发生的概率每次均
8、一样；每次试验是独立的，即每次试验力发生与否与其他次试验/发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为〃重伯努利试验。用“表示每次试验/发生的概率，则/发生的概率为_p=q,用几伙)表示〃重伯努利试验中/出现k(Q
