常微分方程课后答案.pdf

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1、第一章习题第一节习题1.一个月球登陆器以1000米/时的速度开始向月球表面垂直着陆。为了能在月球表面达到软着陆，即着陆时登陆器的速度正好为零，需要点燃一个能提供加速度为-20000米/时2的减速器，试讨论这个减速器在何高度时点燃为好？解：设高度为h，加速度为a=¡2oooom=h2，初始速度为v=1000m=h,降落所用的时间是T，则有08>>dh=v+at:>>>:dhj=0dtt=T由第一项可得h=vt+1at2+C,其中C为任意常数，由第二项可得vT+1aT2+C=0,由第三项可0202得T=¡v0，带入各项数值，最终得到h(0)=C=25m.a2.一个

2、湖泊的水量为V立方米，排入湖泊内含污染物A的污水量为V1立方米/时，流入湖泊内不含污染物A的水量为V2立方米/时，流出湖泊的水量为V1+V2立方米/时。2000年底湖泊中污染物A的浓度为5m0，超过了国家规定的标准，为了治理污染，从2000年起限定排入湖泊中的污水含污染物A的浓度不得超过m0。试讨论湖泊中污染物A的浓度变化？5解：设污染物A的浓度为P(t),由题意可得8

3、者所在位置的微分方程模型。解：不妨设游泳者始终朝着河的彼岸游，令(x;y)是游泳者的位置坐标，v0是水流速度，v1是游泳者的速度，则可建立以下方程8>>dx=v>>dt=v1>:x(0)=0;y(0)=04.把重200kg体积为4¼的球体和重150kg体积为¼的圆柱体同时放到河里，初速度为零，水作用在下沉的3球体和圆柱体上的阻力分别为¸ºc和¸ºs，其中ºc和ºs分别是球体和圆柱体的速度，¸是一个正的常数，试确定哪一个物体先到达水底。1解：设两个物体的质量分别为mc;ms，体积为Vc;Vs,则有：8

4、dt+½Vsg设8

5、(4)一阶非线性；(5)三阶非线性；(6)三阶线性。2.验证下列各函数是相应微分方程的解，并指出哪些是通解：(1)y=1+x2;dy=y2¡(x2+1)y+2x;dx(2)y=¡1;x2dy¡x2y2¡xy¡1=0;xdxy(3)y=Ce2x+Ce¡2x;d¡4y=0(其中C，C是任一常数);12dx2122(4)y=cxex;dy¡2dy+y=0(其中c是任意常数);dx2dx2(5)y=ecx;(dy)2¡ydy=0(其中c是任意常数);dxdx2282>>¡(x¡C1);¡1<41pdy(6)y=>>0;C1:2(x¡C1)4;C2

6、<+1;答：将解代入验证就可得知是否为微分方程的解：(1)是解，但不是通解；(2)是解，但不是通解；(3)是解也是通解；(4)是解，但不是通解；(5)是解，但不是通解；(6)是解也是通解。3.求出：(1)曲线族y=Cx+x2所满足的微分方程；(2)曲线族xy=C所满足的微分方程；(3)平面上一切圆所满足的微分方程；(4)曲线族y=9C+Cx2所满足的微分方程。2x解：方程两边一直对x求导，直到没有常数为止，则得到微分方程(1)y00=2；(2)y+xy0=0；(3)y000+(y0)2y000=3y0(y00)2；(4)y000=0。第二章习题第一节习题1.试求下列微分方程的通解或

7、特解：dy(1)=y+sinx;dx2(2)dy¡1y=1+x;y(0)=1;dx21¡x2Rx(3)y=ex+y(t)dt;043dyx+y(4)dx=xy2;(5)2xydy¡(2y2¡x)dx=0;(6)(ylnx¡2)ydx=xdy;(7)3xy2dy+y3+x3=0;dxdyy(8)dx=x+y3:3解：(1)方程两边同时乘以因子e¡x，由此得到方程的通解为xsinx+cosxy=Ce¡2其中C为任意常数；R¡1dx(2)方程两边同时乘以因子e1¡x2，由此