常微分方程课后习题答案

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1、1.试证n阶非齐线形微分方程（4.1）存在且最多存在n+1个线形无关解。证：设为（4.1）对应的齐线形方程的一个基本解组，是（4.1）的一个解，则：（1），均为（4.1）的解。同时（1）是线形无关的。事实上：假设存在常数，使得：（*）的左端为非齐线形方程的解，而右端为齐线形方程的解，矛盾！从而有又为（4.1）对应的齐线形方程的一个基本解组，故有：即（1）是线形无关的。　　　习题4.21.解下列方程（1）解：特征方程故通解为x=(2)解：特征方程有三重根故通解为x=（3）28解：特征方程有三重根，2，-2故通解为（4）解：特征方程有复数根-1+3i,-1-3i故通解为(5)解：特征方程有复

2、数根故通解为(6)解：特征方程有根a,-a当时，齐线性方程的通解为s=代入原方程解得故通解为s=-当a=0时,代入原方程解得故通解为s=-(7)解：特征方程有根2,两重根1齐线性方程的通解为x=又因为0不是特征根，故可以取特解行如代入原方程解得A=-4，B=-1故通解为x=-4-t(8)解：特征方程故齐线性方程的通解为x=28取特解行如代入原方程解得A=1，B=0,C=1故通解为x=+(9)解：特征方程有复数根故齐线性方程的通解为取特解行如代入原方程解得A=故通解为(10)解：特征方程有根-2,1故齐线性方程的通解为x=因为+-2i不是特征根取特解行如代入原方程解得A=故通解为x=（11

3、）解：特征方程有复数根故齐线性方程的通解为1是特征方程的根，故代入原方程解得A=故通解为+（12）解：特征方程有2重根-a当a=-1时，齐线性方程的通解为s=,281是特征方程的2重根，故代入原方程解得A=通解为s=,当a-1时，齐线性方程的通解为s=,1不是特征方程的根，故代入原方程解得A=故通解为s=+（13）解：特征方程有根-1,-5故齐线性方程的通解为x=2不是特征方程的根，故代入原方程解得A=故通解为x=+（14）解：特征方程有根-1+i,-1-i故齐线性方程的通解为不是特征方程的根,取特解行如代入原方程解得A=故通解为+(15)解：特征方程有根i,-i故齐线性方程的通解为,i

4、,是方程的解代入原方程解得A=B=0故代入原方程解得A=B=0故故通解为28习题5.11.给定方程组x=xx=（*）a)试验证u(t)=,v(t)=分别是方程组（*）的满足初始条件u(0)=,v(0)=的解.b)试验证w(t)＝cu(t)+cv(t)是方程组（*）的满足初始条件w(0)=的解，其中是任意常数.解：a)u(0)==u(t)==u(t)又v(0)==v(t)===v(t)因此u(t),v(t)分别是给定初值问题的解.b)w(0)=u(0)+u(0)=+=w(t)=u(t)+v(t)=+===w(t)因此w(t)是给定方程初值问题的解.2.将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程

5、组的初值问题：28a)x+2x+7tx=e,x(1)=7,x(1)=-2b)x+x=te,x(0)=1,x(0)=-1,x(0)=2,x(0)=0c)x(0)=1,x(0)=0,y(0)=0,y(0)=1解：a）令x＝x,x=x,得即又x＝x(1)=7x(1)=x(1)=-2于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题：x＝x(1)＝其中x＝.b)令＝x＝＝＝则得：且(0)=x(0)=1,=(0)=-1,(0)=(0)=2,(0)=(0)=0于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题：=x(0)=,其中x=.c)令w＝x，w＝，w＝y，w＝y，则原初值问题可化为：28且即w

6、w(0)=其中w＝3.试用逐步逼近法求方程组＝xx＝满足初始条件x(0)=的第三次近似解.解：习题5.202412—0202412—031.试验证=28是方程组x=x,x=，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。解：令的第一列为(t)=,这时(t)==(t)故(t)是一个解。同样如果以(t)表示第二列，我们有(t)==(t)这样(t)也是一个解。因此是解矩阵。又因为det=-t故是基解矩阵。2.考虑方程组x=A(t)x(5.15)其中A(t)是区间a上的连续nn矩阵，它的元素为a(t),i,j=1,2,…,na)如果x(t),x(t),…,x(t)是(5.15)的任意n个解，那么它们的伏

7、朗斯基行列式W[x(t),x(t),…,x(t)]W(t)满足下面的一阶线性微分方程W=[a(t)+a(t)+…+a(t)]Wb)解上面的一阶线性微分方程，证明下面公式：W(t)=W(t)et,t[a,b]解：w(t)=++…+=+…+=+…+整理后原式变为（a+…+a）=（a+…+a）w(t)28=（a(t)+…+a(t)）w(t)b)由于w(t)=[a(t)+…+a(t)]w(t),即=[a(t)+…+a(t)]dt两边从t到t