小学奥数07数列问题.doc

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1、1.5数列问题1.5.1相关概念按一定次序排列的一列数称为数列。数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，a（n+1），…简记为｛an｝。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项。最后一个数叫末项。通项公式：数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。1.5.2等差数列1.5.2.1等差数列的定义如果一个数列从第二项开始，每一项与它前一

2、项的差都相等，我们把这样的数列称之为等差数列。前后两项的差叫做等差数列的公差，常用字母d表示。1.5.2.2公式首项=和×2÷项数-末项　　a1=2sn÷n－an末项=首项+（项数-1）×公差=和×2÷项数-首项an=a1+(n-1)×d=2sn÷n－a1项数＝（末项-首项）÷公差＋1　　n=(an－a1)÷d＋1和＝（首项＋末项）×项数÷2=首项×项数+项数×（项数-1）×公差÷2sn=(a1+an)×n/2=na1+n(n-1)d/21.5.2.3等差中项如果在a和b中间插入一个数A，使a、A、b成等差数列

3、，那么A叫做a和b的等差中项。如a、b、c三项成等差数列，则2b=(a+c),这是等差中项的基本性质。1.5.2.4等差数列的性质(1)任意两项有.(2)对于任意正整数,若,则.反之不行（常数列）.(3)若均是等差数列,则也是等差数列.(c、d均为自然数).1.5.3等比数列1.5.2.1等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都相等，这个数列就叫做等比数列。前后两项的比值叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。1.5.2.2公式通项公式:.前项和公式:.1.5.2.3等比中项如果在a和b

4、中间插入一个数G，使a、G、b成等差数列，那么G叫做a和b的等差中项。如a、G、b三项成等差数列，则（a＞0,b＞0取正值，a＜0，b＜0取负值），这是等差中项的基本性质。1.5.2.4等比数列的性质(1)任意两项有.(2)对于任意正整数,若,则.1.5.4斐波那契数列斐波那契数列因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。　　一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？我们不妨拿新出生的一对小兔子分

5、析一下：第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对；两个月后，生下一对小兔民数共有两对三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对；……依次类推可以列出下表：　　经过月数0123456789101112幼仔对数01123581321345589144成兔对数1123581321345589144233总体对数123581321345589144233377幼仔对数=前月成兔对数　　成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数　　总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数　　可以看出幼仔对数、成兔对数、

6、总体对数都构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，那是：从第三项开始，每一项都等于前两项之和。　　通项公式为:（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。）　　有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。而且当n无穷大时an-1/an越来越逼近黄金分割数0.6180339887……。从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。（注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶）