Mathematica基础数学实验.ppt

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1、实验十矩阵的特征值与特征向量二次型的正交变换一、实验目的掌握用mathematica软件包求矩阵的特征值与特征向量,向量组的Schimidt正交化命令.用正交变换将二次型化为标准形,通过作图和观察,了解二次曲面一般方程的图形.二、学习mathematica命令1.求矩阵的特征值与特征向量Eigenvalues[M],求矩阵M的特征值;Eigenvectors[M],求矩阵M的特征向量;Eigensystm[M],求矩阵M的特征值与特征向量.2.JordanDecomposition[M]:给出矩阵M的相似变换矩阵P和相似变换标准型J,一般情况

2、下J为约当(Jordan)标准型,当M可相似对角化时,J为对角矩阵.3.调用“线性代数向量组正交化”软件包<

3、,-1,1}}{{9,-1,0},{{1,1,2},{-1,1,0},{-1,-1,1}}}例2:已知x=(1,1,–1)为矩阵M的一个特征向量,求参数a,b及特征向量x所属的特征值.设特征值为t,输入M={{2-t,-1,2},{5,a-t,3},{-1,b,-2-t}};x={1,1,-1};B=M.x;Solve[{B[[1]]==0,B[[2]]==0,B[[3]]==0},{a,b,t}]输出为{{a->-3,b->0,t->-1}}即a=-3,b=0,向量x=(1,1,–1)为矩阵A的属于特征值–1的特征向量.例3:求一可逆矩阵P

4、,使P-1AP为对角阵,输入A={{4,1,1},{2,2,2},{2,2,2}};JordanDecomposition[A]输出{{{0,-1,1},{-1,1,1},{1,1,1}},{{0,0,0},{0,2,0},{0,0,6}}}再输入Inverse[J[[1]]].A.J[[1]]输出{{0,0,0},{0,2,0},{0,0,6}}例4:设A为一实对称矩阵,求一个正交矩阵P,使PTAP为对角阵,输入<

5、},{1,1,0,0},{0,0,0,2}};B=Eigensystem[A]P=GramSchmidt[B[[2]]]{{2,2,-1,-1},{{0,0,0,1},{1,1,1,0},{-1,0,1,0},{-1,1,0,0}}}输出输出{{1,0,0,0},{0,1,0,0},{0,0,1,0},{0,0,0,1}}{{2,0,0,0},{0,2,0,0},{0,0,-1,0},{0,0,0,-1}}再输入P.Transpose[P]P.A.Transpose[P]所求正交矩阵P为:程序1xyo在线性变换中如果不使用正交变换,则变换后的

6、坐标系有可能不是直角坐标系,因此,几何图形会发生变形.我们考察一个二次曲线的例子:方程x2+2xy–y2=7的图形如图.如果使用配方法化二次形为:(x+y)2–2y2=7则线性变换为原方程化为:u2–2v2=7正交变换几何性质的举例:此时的uov坐标系不是直角坐标系,其图形发生变形,即变换后的原有距离关系发生变化.见两图比较.方程x2+2xy–y2=7的图形方程u2–2v2=7的图形xyouv如果使用正交变换,则不会出现这种情形.思考题1解答二次型的矩阵为:求得特征多项式为:

7、A–E

8、=–(4–)(9–).于是A的特征值为:1=9,

9、2=4,3=0.对应特征向量为思考题1:化为标准型,并指出f(x,y,z)=36表示何种二次曲面.求一正交变换,将二次型f(x,y,z)=5x2+5y2+3z2–2xy+6xz–6yz正交变换为:化二次型为f=9u2+4v2.可知f(x,y,z)=36为椭圆柱面方程.在o-xyz坐标系中的图形在o-uvw坐标系中的图形思考题2解答二次型的矩阵为:A的特征值为:1=8,2=5,3=2.对应特征向量为思考题2:化为标准型,并指出f(x,y,z)=8表示何种二次曲面.求一正交变换,将二次型f(x,y,z)=5x2+6y2+4z2+4xy+

10、4xz正交变换为:化二次型为f=8u2+5v2+2w2.可知f(x,y,z)=8为椭球面方程.在o-xyz坐标系中的图形在o-uvw坐标系中的图形思考题3解答二次型