微积分课件与习题 函数.ppt

《微积分课件与习题 函数.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、例子1“一尺之棰日取其半,万世不竭”每天得到的剩余量按次序排列起来是一列有序的数.第一节数列的极限无论天数n多么大,只要n取定了,棒总有剩余量,但是“日取其半”无限地进行下去(n无限增大),这就是说:例子2.求半径为R的圆周长loR易见,多边形的周长Pn随着边数n不断增加而逐渐接近圆周长l.但是,无论边数再多,内接正多边形的周长也不等于圆周长.“边数n无限增大时,Pn无限接近l.”我们称l为Pn的极限.一.数列的概念定义:按某规则,依n=1,2,3,的次序编了号的一串数:x1,x2,,xn,,称为数列,记为{x

2、n}.第n项xn称为数列的一般项或通项.在几何上,数列{xn}可以看作数轴上的一个动点,它依次取数轴上的点x1,x2,,xn,,数列实际上是以正整数n为自变量的函数xn=f(n)称为整标函数.例1.详细地写出下面的数列,并在数轴上表示出来.(1)01(2)0(3){n3}:1,8,27,,n3,.01827(4){(1)n}:1,1,1,1,,(1)n,.011定义设数列{xn},当n无限增大时,若xn无限接近于某个确定的常数A,则称A为数列{xn}的极限.或称数列{xn}收敛于A.

3、记作或xnA(当n).二.数列的极限易见,xn与A接近程度用

4、xnA

5、的大小来度量.例如,从下表观察:n

6、xn1

7、1020.011030.0011040.00011050.00001只要n足够大,就能使

8、xn1

9、小于预先给定的无论多么小的正数.定义:设数列{xn},常数A.>0,若N(自然数),使当n>N时,恒有

10、xnA

11、<成立,则称A是数列{xn}的极限.记为的几何解释:对于任给的正数,总存在一个自然数N,使得从N+1项起的所有项所对应的点xn都落在区间(A,A+)内,即在

12、区间(A,A+)外的只是x1,x2,,xn所对应的有限个点,其余的点则全部在(A,A+)之内.如图x1x2xNxN+1AxN+2x3AA+简言之,数列{xn}收敛于A,就是对于任意给定的正数,总存在N,使从xN+1开始,后面所有的点都落在A的邻域内.例1.证:因为只要例2.证:因为例3.证:因为只要例4.证:>0,取N=1,当n>N时,恒有

13、xnC

14、=

15、CC

16、=0<1.唯一性:设数列{xn},2.有界性:如果数列收敛,那么这个数列一定有界.三.收敛数列的性质证:设数列{xn},据极限定义,对

17、于=1,N,使对于n>N的一切xn,恒有

18、xnA

19、<1成立.于是,当n>N时,

20、xn

21、=

22、xnA+A

23、

24、xnA

25、+

26、A

27、<1+

28、A

29、取M={x1,x2,,xN,1+

30、A

31、},则对于所有项xn,必有

32、xn

33、M.故数列{xn}有界.证明1)练习第二节函数的极限整标函数xn=f(n)一般函数y=f(x)记号“x+”读作“x趋于正无穷大”.“x”读作“x趋于负无穷大”.“x”读作“x趋于无穷大”.例如,0yx即

34、x

35、无限增大时,f(x)无限接近于0.一、x时函数f(x)的极限.定义1设f(x)在(a

36、,+)内有定义,A为常数.若x>0且无限增大时,f(x)的值无限接近A,则称A为函数f(x)当x+时的极限.记为或f(x)A(当x+时)定义1'设f(x)在(a,+)内有定义,A为常数.>0,若X>0,当x>X时,恒有

37、f(x)A

38、<则称A为f(x)在x+时的极限.记为或f(x)A(当x+时)只要在上述的定义中,将x>X分别换成x<X与

39、x

40、>X,即可得到的定义.定义2设f(x)在(,b)内有定义,A为常数.若x<0且无限减小时,f(x)的值无限接近A,则称A为f(x)在x时的极限.

41、记为定义2'设f(x)在(,b)内有定义,A为常数.当x<X时,恒有

42、f(x)A

43、<则称A为f(x)在x时的极限.>0,若X>0,定义3设f(x)在(,b)(a,+)内有定义,A为常数.若

44、x

45、无限增大时,f(x)的值无限接近A,则称A为f(x)在x时的极限.记作或f(x)A(x).定义3'>0,若X>0,当

46、x

47、>X时,恒有

48、f(x)A

49、<则称A为f(x)在x时的极限.记为或f(x)A(x)显然,例如,例如y=exxy0又如y=arctanxxy0例5.定义3'如图x

50、yoA+AXX作直线y=A和y=A+,则总有正数X存在,使得当x<X或x>X时,函数f(x)的图形位于这两直线之间.换言之,无论直线y=A和y=A+所夹的条形域多么窄,只要x离原点充分远(

51、x

52、>X),函数的图形都在该条形域内.练习一.习题