习题解答 - 第七章 参数估计.pdf

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1、第七章参数估计习题7.1（p.232）1、随机测定8包大米的重量（单位：千克）20.120.520.320.019.320.020.420.222试求总体均值μ及方差σ的矩估计值，并求样本方差s。1解：μˆ=ξ=()201.+205.+203.+200.+193.+200.+204.+202.=201.88212122222σˆ=B2=∑()ξi−ξ=()4.0+2.0+3.0×3+8.0+3.0=.0128i=1882121s=∑()ξi−ξ=×.096=.0137147i=18k−12、设总体ξ服从几何分布，P()ξ=k=

2、p(1−p)，k=,2,1Lξ,L,ξ为其样本，试求p的矩估计量和极大似然估计量。1n解：⑴矩估计：k−1P()()ξ=k=p1−p′∞∞′k−1k⎡1−p⎤Eξ=∑kp()1−p=−p∑[]()1−p=−p⎢()⎥k=1k=1⎣1−1−p⎦′⎡1⎤⎛1⎞1=−p⎢−1⎥=−p⋅⎜⎜−2⎟⎟=⎣p⎦⎝p⎠p11∴p=,pˆ=Eξξ⑵极大似然估计：nnnLp=p1−pki−1=p1−p∑ki−nL()pnp⎛kn⎞(p)()∏()()i=1ln=ln+⎜∑i−⎟ln1−i=1⎝i=1⎠dlnL()pn⎛n⎞1Δ⎛n⎞=+⎜n−∑

3、ki⎟=0n()1−p+⎜n−∑ki⎟p=0dpp⎝i=1⎠1−p⎝i=1⎠n1p=,pˆ=nξ∑kii=13、设ξ,L,ξ是取自参数为λ的泊松分布总体的一个样本，试求λ的矩估计量和极大似然1n1估计量。解：⑴矩估计：Eξ=λ,λˆ=ξn∑kinλk1λi=1-λ-nλ⑵极大似然估计：L()λ=∏e=ei=1ki!k1!Lkn!nndlnL()λ∑ki()⎛⎞()i=1lnLλ=⎜∑ki⎟lnλ−nλ−lnk1!Lkn!=−n=0⎝i=1⎠dλλn1,ˆλ=∑kiλ=ξni=14、设总体ξ的密度函数如下（式中θ为未知参数），ξ

4、,L,ξ为其样本，试求参数θ的矩1n估计量和极大似然估计量。−θx⎧θex>0⑴f(x)=⎨()θ>0⎩0x≤0+∞+∞+∞−θx−θx+∞−θx1−θx1解：①矩估计：Eξ=∫θxedx=−xe+∫edx=−e=0θθ0001,ˆ1θ=θ=Eξξnn−θ∑xin②极大似然估计：L()θ=∏θe−θxi=θnei=1lnL()θ=nlnθ−θ∑xii=1i=1dlnL()θnnΔn,ˆ1=−∑x=0θ=θ=indθθi=1ξ∑xii=1θ−1⎧θx00⎩0其它11θ−1θθθ+11θ解：①矩估计：

5、Eξ=∫x⋅θxdx=∫θxdx=x=θ+10θ+100θEξ,θˆξ==Eξ−1ξ−1θ−1nnθ−1n⎛⎞②极大似然估计：L()θ=∏θxi=θ⎜⎜∏xi⎟⎟i=1⎝i=1⎠2dlnL(θ)nnΔlnL()θ=nlnθ+(θ−1)ln(xxLx)=+∑lnx=012nidθθi=1=−n,ˆ=−nθθnn∑lnxi∑lnξii=1i=12⎧xx−2⎪e2θx>0⑶f(x)=⎨θ2()θ>0⎪⎩0x≤022+∞+∞x−x+∞⎛−x⎞2⎜2⎟解：①矩估计：Eξ=xf(xd)x=e2θdx=−xde2θ∫∫θ2∫⎜⎟−∞00⎝⎠

6、2+∞22x+∞x+∞t−2−2−2ππEξ=−xe2θ+∫e2θdx=θ∫e2dt=θ=θ220002,ˆ2θ=Eξθ=ξππn121−2xi②极大似然估计：当x>0时，L()θ=∏xe2θi2niθi=1n1n2lnL()θ=−2nlnθ+∑lnxi−2∑xii=12θi=11dlnL()θ2n1nΔ1n⎛1n⎞2=−+∑x2=0θ2=∑x2,θˆ=⎜∑ξ2⎟3iiidθθθi=12ni=1⎝2ni=1⎠⎧()r-1−θx()θθxeΓrx>0⑷f(x)=⎨()r>0已知，θ>0⎩0x≤0解：①矩估计：+∞+∞+∞()r−

7、θx1r+1−1−θxΓr+1rEξ=∫xf(xd)x=∫()θxeΓ()rdx=∫()θxed()θx=()=θΓ()rθΓrθ−∞00rr∴θ=,θˆ=Eξξ②极大似然估计：nnθnrn−θ∑xiL()θ=∏θ()θxr−1e−θxiΓ()r=∏xr−1⋅ei=1i[]()nii=1Γri=1nnlnL()θ=nrlnθ+(r−1)ln∏xi−θ∑xi−nlnΓ()ri=1i=13dlnL()θnrnΔnr,ˆr=−∑x=0θ=θ=indθθi=1ξ∑xii=1x1−⑸f(x)=eθ,()θ>02θ+∞+∞xx−奇函数解：

8、①矩估计：Eξ=∫xf(xd)x=∫eθdx=02θ−∞−∞2由于Eξ=0，考虑Eξ+∞2x02x+∞2x2x−xx−Eξ=∫eθdx=∫eθdx+∫eθdx2θ2θ2θ−∞−∞022通过两次分部积分得，Eξ=2θ2θ2=Eξ或θ2=Dξ(Eξ=)0，∴θˆ=A2或θˆ=B2