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1、《数学分析》教案第十二章数项级数教学目的：1.明确认识级数是研究函数的一个重要工具；2.明确认识无穷级数的收敛问题是如何化归为部分和数列收敛问题的；3.理解并掌握收敛的几种判别法，记住一些特殊而常用的级数收敛判别法及敛散性。教学重点难点：本章的重点是级数敛散性的概念和正项级数敛散性的判别；难点是一般级数敛散性的判别法。教学时数：18学时§1级数的收敛性一． 概念：1． 级数：级数，无穷级数;通项(一般项,第项),前项部分和等概念(与中学的有关概念联系).级数常简记为.2. 级数的敛散性与和:介绍从有限和入手,引出无限
2、和的极限思想.以在中学学过的无穷等比级数为蓝本,定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念.例1讨论几何级数的敛散性.（这是一个重要例题！）解时,.级数收敛;时,级数发散;-18-《数学分析》教案时,,,级数发散;时,,,级数发散.综上,几何级数当且仅当时收敛,且和为(注意从0开始).例2讨论级数的敛散性.解（利用拆项求和的方法）例3 讨论级数的敛散性.解设,,=,.,.因此,该级数收敛.例4讨论级数的敛散性.-18-《数学分析》教案解,.级数发散.3. 级数与数列的关系:对应部分和数列{},收敛{}收敛;对每个数列{},对应级数,对该
3、级数,有=.于是,数列{}收敛级数收敛.可见,级数与数列是同一问题的两种不同形式. 4.级数与无穷积分的关系:,其中.无穷积分可化为级数;对每个级数,定义函数,易见有=.即级数可化为无穷积分.综上所述,级数和无穷积分可以互化,它们有平行的理论和结果.可以用其中的一个研究另一个.二. 级数收敛的充要条件——Cauchy准则：把部分和数列{}收敛的Cauchy准则翻译成级数的语言，就得到级数收敛的Cauchy准则.Th(Cauchy准则)收敛和N,.-18-《数学分析》教案由该定理可见,去掉或添加上或改变(包括交换次序)级数的有限项,
4、不会影响级数的敛散性.但在收敛时,级数的和将改变.去掉前项的级数表为或.系(级数收敛的必要条件)收敛.例5证明：级数收敛.证显然满足收敛的必要条件.令,则当时有应用Cauchy准则时，应设法把式
5、
6、不失真地放大成只含而不含的式子，令其小于，确定.例6判断级数的敛散性.(验证.级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件)例7 (但级数发散的例)证明调和级数发散.证法一(用Cauchy准则的否定进行验证) 三．收敛级数的基本性质：（均给出证明）性质1收敛，—Const收敛且有=-18-《数学分析》教案性质2和收敛，收敛,且有=.性质3若级数收敛,则任意加
7、括号后所得级数也收敛,且和不变.§2正项级数一.正项级数判敛的一般原则:1. 正项级数:↗;任意加括号不影响敛散性.2. 基本定理:Th1设.则级数收敛.且当发散时,有,.(证)3. 正项级数判敛的比较原则:Th2设和是两个正项级数,且时有,则ⅰ>收敛,收敛;ⅱ>发散,发散.(ⅱ>是ⅰ>的逆否命题)例1 考查级数的敛散性.解有例2设.判断级数的敛散性.-18-《数学分析》教案推论1(比较原则的极限形式)设和是两个正项级数且,则ⅰ>时,和共敛散;ⅱ>时,收敛,收敛;ⅲ>时,发散,发散.(证)二.
8、 正项级数判敛法:1．检比法：亦称为D’alembert判别法.用几何级数作为比较对象,有下列所谓检比法.Th3设为正项级数,且及时ⅰ>若,收敛;ⅱ>若,发散.证ⅰ>不妨设时就有成立,有依次相乘,,即.由,得收敛,收敛.ⅱ>可见往后递增,.-18-《数学分析》教案推论(检比法的极限形式)设为正项级数,且.则ⅰ><,收敛;ⅱ>>或=,发散.(证)例4判断级数 的敛散性.解,收敛.例5讨论级数的敛散性.解.因此,当时,;时,;时,级数成为,发散2.检根法(Cauchy判别法):也是以几何级数作为比较的对象建立的判别法.Th4设为正项级数,且及,
9、当时,ⅰ>若,收敛;ⅱ>若,发散.(证)-18-《数学分析》教案推论(检根法的极限形式)设为正项级数,且.则,收敛;,发散.(证)例5研究级数的敛散性.解,收敛.3．积分判别法：Th5设在区间上函数且↘.则正项级数与积分共敛散.证对且. 例6讨论下列级数的敛散性:⑴;⑵.习题课一．直接比较判敛： 对正项级数，用直接比较法判敛时,常用下列不等式:-18-《数学分析》教案⑴.⑵对,有.⑶;特别地,有,.⑷时,有.⑸.⑹充分大时,有.例1判断级数的敛散性.解时,,(或).……例2判断级数的敛散性,其中.解时,有收敛;时,发散.例3设数列有界.证明.-18-
10、《数学分析》教案证设.例4设且数列有正下界.证明级数.证设.例5.若,则.证;又.例6设.若级数和收敛,则级
