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时间:2020-03-10
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1、一.第一类曲线积分(1)先把能带的积分区域带进被积函数中化简。(2)先看对称区域的对称性,看他关于对称是否(3)看到积分区域里出现标准球方程或者标准柱面方程,被积函数出现x,y,z平方的,考虑轮换对称性(4)遇到含有绝对值的被积函数,只需考虑积分区域的对称性问题,将其化为单值函数(5)物理意义:表示的是密度函数为f,在s区域里的曲线型构件的质量,几何意义:表示L为准线,垂直于XOY面的直线为母线的柱面面积。二.第二类曲线积分(1)如果看到分母是或,首先想到全微分,看看能否化成全微分的形式。或者可以先对P和Q求其关于
2、和的偏导,并观察他们是否相等,如若相等,则可以化成全微分的形式。(大部分情况靠感觉)这也是曲线积分与路径无关的习题中要考虑到的一个点(2)在遇到一些证明方面的第二类曲线积分不等式题目时,可以将其化为第一类曲线积分来做(3)由于基本功仍然不是很扎实,现在遇到分段情况的曲线积分一律逐段计算。(4)关于积分关于y=x对称可以置换的情况,应先将其换位重积分才能使用,即曲线积分应该不满足这种条件。(5)物理意义:表示变力沿曲线L()从A到B所做的功。变力,从A到B所做的功,等于)三.格林公式,斯托克斯公式(1)当积分区域是圆
3、形,椭圆等面积容易得知的区域时,在考虑完上述积分情况后,可考虑格林公式。(2)当积分区域不是封闭的,但是是基本图形时,可以补充同向线段让其封闭,最后在剪掉那段就行(3)在含有奇点的区域里,一般来说都是做一个半径足够小的圆,来让他变成没有奇点的区域。利用格林公式把曲线积分化成二重积分后,一定不能把区域带进被积函数!!!!!(4)单联通区域:就是没有“洞”的区域,一条外边界复连通区域:可以有洞,但至少有一条内边界。(5)利用斯托克斯公式还原成重积分后,基本都会使用到合一投影法,然后在按照第二类曲面积分的方法解决。四.第
4、一类曲面积分(1)如果要做投影,则需。一代,二换,三定限(重要)。五.第二类曲面积分(1)求法:1.直接投影法2.利用高斯公式转化成三重积分3.合一投影法4.利用矢量点集法(类似于合一法)5.区域轮换对称性(2)当被积函数中出现抽象函数时,不能直接计算,也不能使用高斯公式(其实可以悄悄试试看能不能把抽象函数消除掉),只能由两类曲面积分的关系计算。(3)利用高斯公式化成三重积分后,一定别把区域带进被积函数!!!!!!!!!!!!(4)其实看到第二类曲面积分就应该用高斯公式试试,管它有没有3项。六.曲线曲面积分物理应用
5、类型平面薄片空间实体曲线(平面)空间曲面高斯公式可推质量重心转动惯量做功流量七.场论1.方向导数。(是个数,注意会用到方向单位向量)2.梯度grad(是个向量)3.散度div(假设有一向量场A=则divA=()4.旋度rot(假设有一向量场A=,则rotA=假设有一向量场A=)
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