高考数学一轮复习第6章数列第2节等差数列及其前n项和教学案理北师大版.docx

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1、第二节等差数列及其前n项和[最新考纲]1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．1．等差数列(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．数学语言表示为an＋1－an＝d(n∈N＋)，d为常数．(2)等差中项：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项，即A＝.2．等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1

2、＋(n－1)d.(2)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝.3．等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系(1)当d≠0时，等差数列{an}的通项公式an＝dn＋(a1－d)是关于d的一次函数．(2)当d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n是关于n的二次函数．4．等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N＋)．(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N＋)．(3)若{an}是等差数列

3、，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)是公差为md的等差数列．(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N＋)也是等差数列，公差为m2d.(5)若{an}，{bn}均为等差数列且其前n项和为Sn，Tn，则＝.(6)若{an}是等差数列，则也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差是{an}的公差的.(7)若等差数列{an}的项数为偶数2n，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；②S偶－S奇＝nd，＝.(8)若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则①S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；②＝.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

4、(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.()(3)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N＋，都有2an＋1＝an＋an＋2.()(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．()[答案](1)×(2)√(3)√(4)×二、教材改编1．等差数列{an}中，a4＋a8＝10，a10＝6，则公差d等于()A．B．C．2D．－A[∵a4＋a8＝2a6＝10，∴a6＝5，又a10＝6，∴公差d＝＝＝.故选A.]2．设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于()A

5、．31B．32C．33D．34B[设数列{an}的公差为d，法一：由S5＝5a3＝30得a3＝6，又a6＝2，∴S8＝＝＝＝32.法二：由得∴S8＝8a1＋d＝8×－28×＝32.]3．已知等差数列－8，－3,2,7，…，则该数列的第100项为________．487[依题意得，该数列的首项为－8，公差为5，所以a100＝－8＋99×5＝487.]4．某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则剧场总共的座位数为________．820[设第n排的座位数为an(n∈N＋)，数列{an}为等差数列，其公差d＝2，则an＝a1＋(n－1)d＝a1＋2(n－1)．由已知a

6、20＝60，得60＝a1＋2×(20－1)，解得a1＝22，则剧场总共的座位数为＝＝820.]考点1等差数列基本量的运算解决等差数列运算问题的思想方法(1)方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可“知三求二”．(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．1.(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则()A．an＝2n－

7、5B．an＝3n－10C．Sn＝2n2－8nD．Sn＝n2－2nA[由题知，解得∴an＝2n－5，Sn＝n2－4n，故选A.]2．(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5等于()A．－12B．－10C．10D．12B[设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，得3＝2a1＋×d＋4a1＋×d，将a1＝2代入上式，解得d＝－3，故a5＝a1＋(5