高考数学一轮复习第5章数列第2节等差数列及其前n项和学案理北师大版

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1、第二节　等差数列及其前n项和[考纲传真]　(教师用书独具)1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．(对应学生用书第82页)[基础知识填充]1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列．用符号表示为an＋1－an＝d(n∈N＋，d为常数)．(2)等差中项：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么

2、A叫作a与b的等差中项，即A＝.2．等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d，an＝am＋(n－m)d.(2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝.3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N＋)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(5)若{an}是等差数列，公差为d，则a

3、k，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)是公差为md的等差数列．4．等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝n2＋n.5．等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．[知识拓展]　{an}为等差数列，Sn是{an}前n项和(1)若an＝m，am＝n，则am＋n＝0，(2)若Sm＝n，Sn＝m，则Sm＋n＝－(m＋n)，(3)若Sm＝Sk(m≠k)，则Sm＋k＝0.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

4、(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　)(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N＋，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　)(3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(　　)(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．(　　)(5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．(　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)×2．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝0，则公差d等于(　　)A．－1　　　　　　

5、　B．1C．2D．－2D　[依题意得S3＝3a2＝6，即a2＝2，故d＝a3－a2＝－2，故选D．]3．在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6等于(　　)A．－1B．0C．1D．6B　[由等差数列的性质，得a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0，选B．]4．(2015·全国卷Ⅱ)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝(　　)A．5B．7C．9D．11A　[a1＋a3＋a5＝3a3＝3⇒a3＝1，S5＝＝5a3＝5.]5．(教材改编)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝45

6、0，则a2＋a8＝________.180　[由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180.](对应学生用书第82页)等差数列的基本运算　(1)(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　)A．1　　　　　　　　　B．2C．4D．8(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝__________.【导学号：79140171】(1)C　(2)－72　[(1)设{a

7、n}的公差为d，则由得解得d＝4.故选C．(2)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由已知，得解得所以S16＝16×3＋×(－1)＝－72.][规律方法]　解决等差数列运算问题的思想方法(1)方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可“知三求二”.(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解.(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程.[

8、跟踪训练]　(1)(2017·云南省二次统一检测)设等差数列{an}的前n项和为Sn，S11＝22，a4＝－12，若am＝30，则m＝(　　)A．9B．10C．11D．15(2)《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾(注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布)，第