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1、【数学】知识讲解—等比数列及其前n项和—基础等比数列及具前n项和编稿：账希勇审稿：李霞【学习日标】1•掌握等比数列的定义，理解等比中项的概念；掌握等比数列的通项公武及推导；2.掌握等比数列的性质和前n项和公式及公式证明思路；会用它们灵活解决有关等比数列的问题；3.能在具体的问题情境小，识别数列的等差关系或等比关系，并能川有关知识解决相应的问题；4.了解等比数列与指数函数的关系.【要点梳理】要点一、等比数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一•个常数，那么这个数列就叫做等比数列•这个常数叫做等比数列的
2、公比；公比通常用字母q表示(q0),B
3、J：要点诠释：%1由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0,因此q可不能是0;%1“从第二项起，每一项与它的前一•项的比等于同一个常数q”，这里的项具有任意性和有序性，常数是同一个；%1隐含条件：任一项⑹0且q0；"an(T是数列bn｝成等比数列的必要菲充分条件；④常数列都是等差数列，但不一定是等比数列。不为0的常数列是公比为1的等比数列；⑤证明一个数列为等比数列，其依据要点二、等比屮项如果三个数a、G、b成等比数列，那么称数G为「与b的等比屮项.y[ab其中G要点诠释：%1只有当3
4、与b同号即ab0时，a与b才有等比屮项，且3与b有两个互为相反数的等比中项.当a与h异号或有一个为零即肚0时，「与b没有等比中项。%1任意两个实数3与b都令等差中项，且当3与b确定时，等差中项c与b不一定有等比屮项，且当d与b有等比屮项时，等比屮项不唯一。%1当ab0时，°、G、by/ab成等比数列2an1q(q0).rnian1q(nN*,q0).利用这种形式來判定，就便于操作了.anab唯一.但任意两个实数a2GbG2abGaG@Gab是a、G、b成等比数列的必要不充分条件。要点三、等比数列的通项公式等比数列的通项公式首相为a
5、l,公比为q的等比数列｛an｝的通项公式为:cin=q・/I(川已N曲、q工0)推导过程：(1)归纳法：根据等比数列的定义師qLJ得ananlq(n2):an1.e.a2alqalq21；a3a2q(alq)qalq2alq31；a4a3q(alq2)qalq3alq41；ananlqalqn1(n2)当n=l时，上式也成立「•归纳得出：analqn1(nN*,alq0)(2)替乘法:根据等比数列的定义anq可得：an1a2q，ala3q，a2a4a3anq,an1把以上n1个等式的左边与右边分别相乘(叠乘)，并化简得：又“1也符
6、合上武anqn1,即analqn1(n2)alanalqn1(nN*,alq0).(3)迭代法:ananlqan2q2a2qn2alqn1.*.analqn1(nN*,alq0).要点诠释：%1通项公式由首项al和公比q完全确定，一旦一个等比数列的首项和公比确定，该等比数列就唯一确定了.%1通项公式屮共涉及红1、n、q、加四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量.等比数列的通项公式的推广C知等比数列｛加｝中，第m项为卸，公比为q,贝山5=uqf证明：Tanalqn1,amalqm1analqn1nmqmlamalq
7、amqnm由上可知，等比数列的通项公式可以用数列小的任一项与公比来表示，通项公式analqn1(nN*,alq0)LJ以看成是m1时的特殊情况。要点四、等比数列的前n项和公式1等比数列的前n项和公武禹(q=1)推导过程：(1)利用等比性质由等比数列的定义，有aa2a3nqala2an1根据等比性质，有a2a3anSalnq(1q)Snalanqala2anISnanalanqal(lqn)・••当q1时，Sn或Sn.1qlq(2)错位相减法等比数列bn｝的前n项和Snala2a3①当q1时，anal,Snala2a3②当q1时，由
8、红门alqn1得：an,annal；Snalalqalq2alqn2alqn1dlqn1alqnqSnalqalq2alq3n(1q)Snalalqnalanqa(11q)alanqai(1qn)・Sn或Sn.1qlqrial即Snal(1qn)alanq1q1q要点诠释：%1错位相减法是一种非常常见和重要的数列求和方法，适用于一•个等差数列和一个等比数列对应项的积组成的数列求和问题，要求理解并掌握此法.%1在求等比数列前门项和时，要注意区分q1和q1.%1当q1时，等比数列的两个求和公式，共涉及al、n、q、an.Sn五个量，
9、已知其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量.要点伍、等比数列的性质设等比数列bn｝的公比为q%1若m,n,p,qN，且mnpq,贝Uamanapaq,特别地，当mn2p时amanap.%1下标成等差数列且公差为ni的项ak,Qkm,ak2
