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《§9向量数乘运算及其几何意义 平面向量的基本定理及坐标表示.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、§9向量数乘运算及其儿何意义平面向量的基本定理及坐标表示一、一周内容概述本周主要学习了向戢数乘运算，理解向杲数乘运算的几何意义,向最共线的充要条件，平面向戢的基本定理，山此理解向最的坐标意义，熟悉向杲坐标的运算法则,使向最运算完全代数代，将数与形紧密地结合在一起,这样，就让很多几何问题的证明,转化为熟知的数帚运算，向最是解决问题的一个重要方法.二、重点知识归纳及讲解1、实数与向量的积定义一般地，实数入与向最吕的积是一个向最，这种运算叫做向最的数乘，记作Xa.其长度与方向规定如下：®IXa
2、=
3、X
4、•
5、a
6、.②当入>0时，入8与8的方向相同：当X<0时•，入8与8
7、的方向相反；当X=0时，入8=0与a平行.①结合律入(ua)=(Xu)a运算律②第一分配律（入+u）8=^a+Pa③第二分配律X@+b）=Xa+Xb2、两个向量共线的充要条件（向量共线定理）定理向最b与非零向量8共线的充要条件是有且仅有一实数X,使b=Aa.数学表达式b〃且b=Xa(a7^0,XGR).3、平面向最基本定理定理如果◎、e」是同一平面内两个不共线的向累，那么对这一平面内任一向量a.有且仅有一对实数入1、入“使8=入Gi+入£三・基底不共线的&与e.川l
8、做平面内表示所有向量的一纽基底.说明：（1）基底向最肯定是非寒向量，且基底并不唯一.只要不共线就
9、行.（2）山定理可将任一向戢按基底方向分解且分解形成唯一.4、平面向量的坐标表示定义若i、j为平血直角坐标系屮与X轴、y轴同向的单位向最，则对于平血内任一向最“有且仅有一对实数X、y,使得8=xi+yi；我们把(x,y)称为向量8的坐标.表达式a=xi+yj=(x,y)5、向最坐标与点坐标的关系意义一个向最的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标.表达式若A®,V.)，B(x.yj,则砸％2F，才刃).6、平面向議的坐标运算加法两个向量的和的坐标等于这两个向量相应坐标的和，即若a(Xi,yi),b(x),y>),贝ija+b=(xi+x2,yi+y2
10、)减法两个向最的差的坐标等于这两个向最相应坐标的差，即若a(xi,y<),b(x2,y?)•则a—b=(xi—X2,yi—y2)实数与向量的积实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原來向量的相应坐标，即若8=(X,y),xeR,则Xa=(Ax,Xy)7、平血向量共线的坐标表示设a=(xhyi),b=(xj,y2)»贝!lb〃a(a^O)Xiy>—x>yi=O%1.难点知识剖析1、向最共线的充要条件及平血向最基本定理准确理解，把握平面向量基木定理的关键是对定理的条件和结论的每个字的含义的理解.如向呈共线的充要条件定理小右I(1)非零向量°:(2)有且只有一个实数A:
11、(0条件与结论的互推.这四个方面我们要认贞理解.记忆.2、要证明向量8、b共线，只需证明存在实数―使得b=2即可.如果a=b=O,数入仍然存在•此时入并不惟一.是任意数值.3、关于平面向最的坐标运算，要注意以下儿点:(1)要清楚向昴的朋标9表示该向帚的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置令关.(2)通过建立直角坐标系，可以将平面内任一向景用一个令序实数对來表示:反过來，任一有序实数对就表示一个向量•这就是说，一个平面向量就是一个有序实数对.4、凡遇到与平行有关的问题时，…般地要考虑运用向量平行的充要条件：仃)b〃aJ：b=入a(aHO,XGR)(2
12、)b〃a(aH0)oxiy?—旳屮=0,其中且(x“yj,b(x2»y?)四、例题讲解例1、□.知向昴8、b是两非零向就，在下列四个条件中，能使a、b共线的条件是()®2a—3b=4e且a+2b=-3e：%1存在相异实数入、口，使Xa+ub=O；%1xa+yb=O(其中实数x、y满足x+y=O):%1已知梯形ABCD,其中ABpCD^b.A.®®B.①③C.②®D.③④解析：A、B均含有①，而C、D均含有④，所以可先判定①或④.若①能使a、b共线，则只有从A、B屮进一步作出选择，若2a-3b=4e1-10+2b=_%可求得古一严=-ye,①不能使a、b共线，则应
13、从C、D中进一步作出选择.首先判定①能否使a.b共线.由向最方程组：*,Ab=-—a・・・b=10a,・・・a、b共线,因此可排除C、D.而由②可得入、u是相异实数,所以入、P不同时为0,不妨设uH0,化",故a.b共线，所以排除B,选择A.答案：A例2、如图所示，已知梯形ABCD屮AD//BC.E.F分别是AD、BC边上的屮点，且BC=3AD,BA=fl，^=b'试以a、b为基底表示职DRCR解析：A、B均含有①，而C、D均含有④，所以可先判定①或④.若①能使“、b共线，则只有从A、B屮进一步作出选择，若2a-3)=4e110a+2b=_%可求得:旷严b=-y
14、e,①不能使a、b共线，
