数学概念及其教学.ppt

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1、§6.1数学概念及其教学制作人：龚清芳、罗治琴、何丽一、数学概念的意义和结构数学概念的意义概念是反映事物本质属性和特征的思维形式.概念来自本质，而本质来自存在.——列宁数学概念是反映（现实世界）空间形式和数量关系的本质属性的思维形式.数学概念产生和发展有各种不同的途径：1）直接从它的现实模型中抽象概括得出，如几何中的点、线、面、体等概念；2）在已有概念的基础上进一步抽象概括而形成，如群、环、域等；3）人们将客观事物的属性理想化、纯粹化得到数学概念，如“直线”；4）在一定的数学对象结构中产生数学概念，如“三线八

2、角”；5）根据数学本身发展的需要而产生，如负数、虚数、n维空间等.数学概念是用数学语言来表达的，其主要形式是语词和符号.如：角∠、三角形△、平行∥、阶乘！等等.同一数学概念可能有不同的词语表达，如：“等边三角形”又可表达为“正三角形”.概念是人类思维的基本结构单位.概念又是命题、推理和论证的基础.可以说每一门学科，都是一个概念的系统.2.概念的内涵和外延概念的内涵（内包）——概念所反映的这类事物的共同的本质属性，即确定的涵义，是对概念的质的规定；概念的外延（外包）——概念所反映的这类事物的全体，即确定的对象范

3、围，是对概念的量的描述.注：1）概念的内涵和外延分别指一个概念“是什么样的？”和“是指哪些对象？”2）概念的内涵和外延既是统一的又是互相联系、互相制约的，在一定的条件下，概念的内涵和外延是互相确定的.3）概念的内涵和外延之间还表现在发展中的反变关系即：概念的内涵越多，则外延越小；概念的内涵越少，则外延越大.举例：在自然数系中，“偶数”概念的内涵和外延分别是什么？“平行四边形”的内涵和外延分别是什么？对于“矩形”这个概念，如果增加“有一组邻边相等”这个性质后，就成为外延缩小的概念——正方形；在矩形内涵中减少“有

4、一个角是直角”的属性，就得到外延扩大的概念——平行四边形.概念的限定和概括是明确概念内涵和外延的逻辑方法，即给概念下定义.二、概念间的关系根据概念的外延集有无重合之处，概念间的关系可分为相容关系和不相容关系.规定：所有概念的外延集都是非空集合.相容关系若A∩B≠Ф,则称概念甲概念乙之间有相容关系.又可进一步具体分为同一关系、属种关系和交叉关系.设集合A、B、C为概念甲、乙、丙的外延集.A=BAB同一关系（或全同关系）如：“不大于”和“小于或等于”注：数学中的恒等变形就是利用概念间的同一关系进行的.属种关系比如

5、：实数和有理数、平行四边形和矩形.又称从属关系，甲称为属概念，乙称为种概念．借用生物学中的概念AB交叉关系比如：矩形和菱形、非负有理数和非正有理数．利用概念间的交叉关系可以概括出新的概念．矩形的外延集和菱形的外延集的交集是“正方形”．２．不相容关系（又称在同一属概念丙之下的全异关系）矛盾关系（　）反对关系（）ＡＢＣ大前提：A∩B＝ФＡＢＣ相对于属概念“实数”而言，其种概念“有理数”与“无理数”之间就是矛盾关系．但相对于属概念“复数”而言，它们就是反对关系．相对于属概念“三角形”而言，其种概念“锐角三角形”与“

6、直角三角形”之间就是反对关系．概念间的不相容关系是数学中反证法、穷举法的依据之一．三、  概念的定义概念的定义就是揭示一个概念的内涵或外延的逻辑方法．揭示内涵的定义称为内涵定义，明确外延的定义称为外延定义．１．定义的结构：被定义项（B）、定义项（D）、定义联项．概念定义的表达主要是：B就是D常见的还有：“B是D”；“B等于D”；“B当且仅当D”；“D叫做B”；“D称为B”．等腰三角形就是有两边相等的三角形B连项D２．下定义的方式方法（１）属种定义方式：被定义项=（邻近的属）+（种差）B（连项）D矩形就是一个角

7、是直角的平行四边形种差　＋　邻近的属B（连项）　D又称之为　“属概念　＋　种差”　定义法．派生出两种特殊形式：发生式定义和关系定义．发生式定义以被定义概念所反映的对象产生或形成的过程作为种差下定义的方式．例：圆就是把定长线段的一端固定，使另一端旋转一周而成的一条封闭曲线．换言之：到定点的距离等于定长的点的轨迹．关系定义以被定义概念所反映的对象之间的关系作为种差下定义的方式．例：“偶数”就是能被2整除的整数．注：属加种差的定义方式，有一定的局限性．例：“范畴”这一概念就无法采用这种方式定义．（２）外延定义列举“

8、被定义概念所属的、所有互不相容的种概念”的方式下定义．例：正、负整数，正、负分数和零统称为有理数；D　B有理数和无理数统称为实数DB注：约定式定义也属于揭示外延的方法．例如：0！=1等等（３）语词定义用语词说明被定义项的含义的方式．例：“”表示空集；“”表示属于；“”表示“连加”此外，还有递归定义，公理化定义等等．3下定义应遵循的规则规则1定义要相称，就是定义项和被定义项的外延必须全同．若定义项的外