《数学史概论》作业.doc

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1、江西师范大学2010-2011第二学期期末考查试卷《数学史概论》2011.6姓名：学号：学院：1、简要叙述19世纪群概念的产生对代数学的重要意义。2、概述高斯、波约和罗巴切夫斯基对非欧几何的贡献。3、何为“分析算术化”纲领？简要叙述魏尔斯特拉斯对分析严格化的贡献。4、简要叙述20世纪纯粹数学发展的主要特征或趋势。5、谈谈你对学完数学史的体会。1801年，高斯发表《算术研究》，这部象征近代数论起点的巨著，同时也打开了数学新世纪的大门。十九世纪前的数论主要是一些漂亮但却孤立的成果，高斯一方面将这些成果系统化，对问题及方法加以分类，同时开辟了全新的课

2、题及方法。树立了严格证明的典范，认为找出简单漂亮的证明，有助于掌握问题的实质并发现不同问题间的联系(典型的是他给出了二次互反律的七个证明)。)E#t/`4f#T.[5I'a(_'Q7P#"d7e;o高斯的观点代表了十九世纪对数学严密性追求的时代精神，也指出了纯粹数学发展的一条途径。同年，高斯依据少量观测数据，运用误差分析等方法计算出谷神星的轨道，准确地预报了这颗小行星在天空出现的时刻，哄动了科学界。高斯在一生中始终对理论与应用同等重视，他的成就一直鼓舞着最有才华的数学家。他和阿基米德、牛顿一起，被认为是历史上最伟大的数学家。&1825年左右，

3、波尔约和罗巴切夫斯基分别得到同样的结果，并推演了这种新几何中的一些定理。罗巴切夫斯基1829年的文章《论几何基础》是最早发表的非欧几何著作，因此这种几何也称为罗巴切夫斯基几何。这项发现的技术细节是简单的，但观念的变革是深刻的，欧氏几何不再是神圣的，数学家步入了创造新几何的时代。0}8c1O.p:c1]1K8d2X&V8E2jN-I非欧几何对人们认识物质世界的空间形式提供了有力武器，但由于它背叛传统，创立之初未受到数学界的重视。只是当高斯有关非欧几何的通信和笔记在他1855年去世后出版时，才因高斯的名望而引起数学家们的关注。/x%l7k&c%a/

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5、3R)I,K7d9o&k(~十九世纪前半叶最热门的几何课题是射影几何。1822年，彭赛列发表《论图形的射影性质》，这是他1813～1814年被俘关在俄国时开始研究的总结。他探讨几何图形在任一投影下所有截影所共有的性质，他的方法具有象解析几何那样的普遍性。1827年左右，普吕克等人引进齐次坐标，用代数方法研究射影性质，丰富了射影几何的内容。6e(R/y*x:;V,m-P4%R-v)y)Q0]3d对纯几何问题兴趣的增长，并未减弱分析在几何中的应用。高斯从1816年起参与大地测量和地图绘制工作，引起他对微分几何的兴趣。1827年他

6、发表的《关于曲面的一般研究》，为这一数学分支注入了全新的思想，开创了微分几何的现代研究。-D.w"s;`R*A:h%$G魏尔斯特拉斯在这一时期继续分析算术化的工作，提出了现代通用的极限定义，即用静态的方法(不等式)刻画变化过程。他构造出处处不可微的连续函数实例，告诫人们必须精细地处理分析学的对象，对实变函数论的兴起起了催化作用。在复变函数论方面，他提出了基于幂级数的解析开拓理论。魏尔斯特拉斯的众多成果出自他任中学教员的时期，到1859年出任柏林大学教师后才广为人知。由于他为分析奠基的出色成就，后被誉为“现代分析之父”。罗巴切夫斯基是在尝试解决

7、欧氏第五公设问题的过程中，从失败走上他的发现之路的。欧氏第五公设问题是数学史上最古老的著名难题之一，它是由古希腊学者最先提出来的。3．群论19世纪末抽象群开始成为独立研究的对象，当时主要问题仍是以置换群为模式的有限群，问题涉及列举给定阶数的所有群以及群的可解性的判据．当时主要的定理是由挪威数学家西洛(L．Sylow，1832—1918)在的．而19世纪90年代群论最主要成就是群表示论的出现，它是由德国数学家福洛宾尼乌斯奠定的．后由他的学生舒尔(I．Schur，1875—1941)所发展，成为研究群论不可缺少的工具．所谓群表示即是把群具体实现为某

8、种结构的自同构群，例如域F上的有限维线性空间的线性变换群，通常是把群的元素与F上的n×n可逆矩阵相对应．在英国数学家伯恩塞德(W．Burnside，1852—1927)的经典著作《有限阶群论》(TheoryofGroupsofFiniteOrder)第二版(1911)已经进行综述并给出应用．罗巴切夫斯基有一系列的几何学著作，如1835年的《虚几何学》、1836年的《虚几何学在一些积分上的应用》、1835年至1838年的《几何学新原理及完整的平行线理论》、1855年的《泛几何学》。这些说明，罗巴切夫斯基是一位始终如一地在为建立非欧几何学作不懈的努

9、力的学者。罗巴切夫斯基在数学的其他领域也作出了贡献，并有一系列的论著。其中主要有：1834年的《代数学或有限运算》、《关于三角级数的消失》，1841年