字母替换法解题浅谈.doc

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1、字母替换法解题浅谈用字母表示数或式，是代数学的一个重要特点，这个特点贯穿代数课程的始终。可以说，有了“字母表示数或式”的思想，数学才从呆板的算术学发展到活跃变化的代数学研究领域。字母表示数或式，是代数学活的灵魂。若能在代数计算或求值等问题中，充分考虑这种思想，巧设字母，灵活地运用字母替换数或式的方法来求解问题，不仅新颖巧妙，而且简捷明快，往往能起到意想不到的化繁为简的效果。一、用字母替换数或式，简化求解过程。例1计算：（1）；（2）。分析：由于（1）、（2）中的数值较大，如果直接计算，显然很繁。但

2、仔细观察，若在（1）中设a=2002，（2）中设a=19971997，可能凑效。不妨试一试。解：（1）设a=2002，则原式==a+1=2003；(2)设a=19971997，则原式===。评注：I）果然，在（1）中设a=2002，（2）中设a=19971997，把数的计算转化为有理式的运算，达到了简化算式和计算过程的目的。这招还灵！II）（1）小题中对于的结构特点，读者还可以任意选取较大的a值改编出很多看似复杂而与此相仿的计算题来,（2）小题也可如法炮制；同时，（2）小题的结果与a的取值无关，表

3、面上是一个庞然大物，实际上是一只纸老虎！例2分解因式：（1+x+x2+x3）2-x3。分析：若直接展开，再分解因式，当然可以完成任务，但不是最优解答，我们可设M=1+x+x2来简化解答过程。解：设M=1+x+x2，则原式=（M+x3）2-x3=M2+2Mx3+x6-x3=M（M+2x3）+x3（x-1）M=M（M+2x3+x4-x3）=（1+x+x2）（1+x+x2+x3+x4）例3设a1,a2,a3,…，a2000都是有理数,令M=（a1+a2+…+a1999）（a2+a3+…+a2000），N

4、=（a1+a2+…+a2000）（a2+a3+…+a1999）。试比较M、N的大小。分析：因为出现的有理数个数较多，书写较繁，可令x=a1+a2+…+a1999，y=a2+a3+…+a2000来简化书写。解：令x=a1+a2+…+a1999，y=a2+a3+…+a2000，则M=xy,N=(x+a2000)(y-a2000)=xy-(x-y)a2000-a22000,∴M-N=(x-y)a2000+a22000=（a1-a2000）a2000+a22000=a1a2000，因此，i）当a1a200

5、0＞0时，M＞N；ii）当a1a2000=0时，M=N；iii）当a1a2000＜0时，M＜N。思考比较下列两个数的大小：A=，B=。（提示：设a=99991111）二、设字母，引入辅助未知数，构造方程（组）求解问题。例4计算：（1）；（2）；（3）。解：（1）（构造方程）设x=，则x2=（）2==6，∴x=(-不合题意，舍去)。（2）（构造方程组）设x=,y=，则(x-y)2=x2+y2-2xy=38-22=16x-y=4(-4不合题意，舍去)。（3）（构造方程）设x=,并设a=,b=，则x=a

6、+b,a3+b3=40,ab=2,而(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)∴x3-6x-40=0即（x-4）（x2+4x+10）=0又∵x2+4x+10＞0∴x-4=0，即原式=4。评注：由于（1）、（2）、（3）小题中的两个根式都具有对称特点，而且它们的乘积、平方和或立方和（差）均为有理数，如，（）2+（）2=38等，我们把这样成对的根式称为共轭根式。两个共轭根式的和或差的计算问题，均可用设字母（辅助未知数），利用完全平方公式或立方和（差）公式，构造方程的方法来求解。此法给人有一种赏心悦目的

7、感觉，带有点艺术美的味道。思考求下列各式的值：①；②；③。例5求值：（1）；（2）。分析：利用根号的层次是无限的特点，可以构造方程来解。解：（1）令原式=x，则=x，两边平方并整理得x4-4x2-x+2=0,(x+1)(x-2)(x2+x-1)=0,即x=-1,x=2,x=,又∵0

8、。思考计算：①；②；③。三、设字母，顺利实现问题转化，解决与代数式恒等变形有关的证明题。例6已知1989x2=1991y2=1993z2,x>0,y>0,z>0,且=1。求证：。分析：由于1989、1991、1993在题目中多次出现，若能用某字母的代数式表示出这三个数，问题可能得证。显然设1989x2=1991y2=1993z2=K3，（K>0）,可实现转化。解：设1989x2=1991y2=1993z2=K2，（K>0）,则1989=，1991=，1993=。∵=1，∴=K，=K