小学数学世界名题巧解(35).doc

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1、小学数学世界名题巧解﹙抽屉原理的问题﹚我国明末清初,有一位伟大的数学家叫做梅文鼎﹙公元1633年~1721年﹚。他用毕生的精力研究数学和天文学。他在许多预测天文现象的著作里,曾不自觉地应用了近代数学的抽屉原理。如果给你4个苹果,让你把它们分放到3个抽屉里,那么肯定有一个抽屉里有两个苹果。把5封信,分放到4个信箱中,一定有一个信箱中有2封信。如果6只鸽子飞进5个鸽笼,并且没有空着的鸽笼,那么一定有一个鸽笼飞进2只鸽子。以上这些简单的例子所体现的数学原理就是“抽屉原理”,也叫“鸽笼原理”。基本的抽屉原理认为:如果把﹙x+1﹚个物体分放到x个抽屉里

2、,那么有一个抽屉里不止有一个这种物体。通俗地说就是:“东西多,抽屉少,至少要有两个东西放在同一个抽屉里。”抽屉原理的用途很广。如果能灵活运用,可以解决一些看上去相当复杂,觉得无从下手的问题。为了对抽屉原理有个初步地了解,以便最后能解答例5梅文鼎提出的问题,我们先看一下例1至例4。例1、某校有32名学生是在一月份出生的,那么其中至少有两名学生的生日是在同一天。这是为什么?解:1月份有31天,可以看作是31个抽屉。32名学生可以看作是32个物体。把32个物体放进31个抽屉,当然要有一个抽屉里要放2个物体。由此,说明至少有2名学生的生日是在同一天。

3、答:﹙略﹚。例2、班上有49名学生,老师拿多少本书分给大家,才能保证班上至少有一名学生能得到2本书?解:49人→49个抽屉;?本→?个物体。把49人看作49个抽屉,多少本书看成多少个物体。要满足题意,根据抽屉原理,物体的个数必须比抽屉的个数多,即书的本数必须多于49,而大于49的最小的整数是50,所以,至少要拿50本书,才能保证至少有一名学生得到2本书。答:﹙略﹚。利用抽屉原理解题的思路和步骤是:⑴构造抽屉;⑵把物体放入抽屉;⑶说明理由,得出结论。合理、正确地构造抽屉是解抽屉原理问题的关键。例3、幼儿园买来不少猪、狗、马的塑料玩具,如果每个小

4、朋友任意选择2件,那么,要保证至少有2人选的玩具相同,就要至少有几名小朋友?解:6种搭配→6个抽屉;?名小朋友→?个物体。从三种玩具中挑选2件,搭配方式是这样:马–马,马–猪,马–狗,猪–猪,猪–狗,狗–狗。由上面的搭配看得出,所有的搭配一共是六组。如果把每一组的搭配看成一个抽屉,共有6个抽屉。如果把6名小朋友看作6个物体,每个物体可以放进一个抽屉,也就是每名小朋友选择的一组玩具可以不相同。那么要保证至少有2人选相同的一组玩具,就要至少有7名小朋友。答:﹙略﹚。例4、把135块饼干分给16名小朋友,每名小朋友至少要分到一块饼干,那么不管怎样分

5、,一定会有2名小朋友得到的饼干数目相同。为什么?解:16名小朋友→16个抽屉;135块饼干→135个物体。如果16名小朋友所分到的饼干数都不相同,至少要有饼干:1+2+3+……+16=﹙1+16﹚×16÷2=17×16÷2=272÷2=136﹙块﹚﹙这里求饼干的块数,是用高斯快速求和的方法。﹚现在只有135块饼干。我们把16名小朋友看作16个抽屉,把135块饼干看作是135个物体。当我们把135个物体放进16个抽屉里时,如果每个抽屉里物体的个数不相同,一定要有一个抽屉里没有物体;如果要使每个抽屉里都有物体,至少要有2个抽屉里的物体个数相同。这

6、就是说,因为有一个抽屉是空的,一定要从物体多的一个抽屉中拿出1个、或2个、3个……放进空的抽屉之中,但要保证每个抽屉中都有物体;要是拿出的是1个,放入空的抽屉中,这个抽屉中的1,就要与原来已有1抽屉中的个数相同了。以此类推……所以,如果要使每个抽屉中都有物体,那么,一定至少有2个小朋友所得的饼干数相同。答:﹙略﹚。例5、有一次梅文鼎去参加科举考试,在路上遇到了准备去考试的12名举子。他们最大的是25岁,最小的是15岁。由此他断定,在这些举子之中,至少有2人是同岁。这是为什么?解:人的属相有12个,15岁到25岁的年龄差是:25-15+1=11

7、﹙岁﹚我们把11岁当做11个抽屉,把12个人当做12个物品,把12个物品放在11个抽屉之中,自然是有一个抽屉之中至少要放2个,所以,一定至少有2个人的属相是相同的,也就是说,至少有2个人的年龄是相同的。答:﹙略﹚。

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