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1、第一章 复 习 课 1.知道锐角三角函数的概念和直角三角形的边角之间的关系.2.会计算含特殊角30°、45°、60°的三角函数值的问题,并用计算器求所有锐角三角函数值.3.会运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.4.重点:会计算含30°、45°、60°角的三角函数值的问题;会运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题. ◆体系构建请你完善本章的知识网络图. ◆核心梳理1.如图,在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与邻边的比值随之确定,这个比叫做∠A的 正切 ,记作 tanA ,即tanA= ∠A的对边∠A的邻边 . 2. ∠A的对
2、边与斜边的比 叫做∠A的正弦,记作 sinA ,即sinA= ∠A的对边斜边 . 3.∠A的邻边与斜边的比叫做 ∠A的余弦 ,记作 cosA ,即 cosA=∠A的邻边斜边 . 4.锐角A的正弦、余弦和正切都是 ∠A的三角函数 . 5.(1)如果给定的三角函数值是特殊角的三角形函数值,可以直接求出;(2)利用计算器求,在实际生活中经常遇到的三角函数值都不是特殊值,常借助计算器,当然特殊值也可用计算器来求.6.一般地,直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程叫做 解直角三角形 .已知条件为一个内角90°,还需知道两个条件,至少有一个条件为三角形的一边长.
3、7.对于非直角三角形(斜三角形或不规则四边形),往往需要通过添加 辅助线 构造 直角三角形 来解(化斜为直),但要以不破坏 已知角 为前提.作辅助线的一般思路:①作 垂线 构成直角三角形;②利用图形特征、图形性质,发现直角或转化成直角,为构造 直角三角形 创造条件,如等腰三角形顶角平分线垂直于底边. 专题一 锐角三角函数1.如图,角α的顶点为O,它的一边在x轴的正半轴上,另一边OA上有一点P(3,4),则sinα= 45 . 【方法归纳交流】在各类考试中常将锐角三角函数求解蕴含在一定的背景图形中,通过相关角、线段的转移或构建特殊的直角三角形求解相关三角函
4、数值问题.专题二 与特殊角的三角函数值有关的计算2.在△ABC中,若
5、sinA-12
6、+(cosB-12)2=0,则∠C的度数是 90° . 专题三 解直角三角形3.根据下列条件,求出Rt△ABC(∠C=90°)中未知的边和锐角.(1)BC=8,∠B=60度;(2)∠B=45°,AC=6.(3)a=6,c=22.解:(1)∵∠B=60°,∴∠A=30°,AB=BCsin30°=812=16,∴AC=AB·sinB=16×32=83.(2)∵∠B=45°,∴∠A=45°,∴BC=AC=6,AB=AC2+BC2=23.(3)∵sinA=ac=622=32,∴
7、∠A=60°,∴∠B=90°-∠A=90°-60°=30°,b=c2-a2=(22)2-(6)2=2.专题四 三角函数的实际应用4.如图,两建筑物的水平距离BC为27米,从A点测得点D的俯角α=30°,测得点C的俯角β=60°,求AB和CD两建筑物的高度.解:如图,过点A作AM∥BC交CD的延长线于M,由题意知四边形ABCM是矩形.因为∠MAC=β=60°,所以∠BAC=30°.在Rt△ABC中,tan∠BAC=BCAB,所以AB=BCtan∠BAC,即AB=273.在Rt△AMD中,tan∠MAD=DMAM,因为∠DAM=α=30°,所以DM=AM·t
8、an30°=27×33=93,所以CD=CM-DM=AB-DM=273-93=183.因此建筑物AB的高为273米,CD的高为183米.5.如图,一轮船向正东方向航行,在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上,航行40海里后到达B处,此时测得灯塔P在北偏东15°方向上.问灯塔P到轮船的航线(直线AB)的距离PD是多少?解:如图,过点B作BC⊥AP于点C,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,∴BC=12AB=20,AC=AB·cos30°=203,∵∠PBD=90°-15°=75°,∠ABC=90°-30°=60°,∴∠CBP=180°-75
9、°-60°=45°,∴PC=BC·tan45°=20,∴AP=AC+PC=20+203.∵PD⊥AD,∠PAD=30°,∴PD=12AP=(10+103)海里.【方法归纳交流】航海问题主要包括求航行的时间、航行的速度、航行的路程、距离等,是考试中的热点问题.解决航行问题的关键是弄清方位角,方向角的概念,从实际问题中构建一个或两个直角三角形,通过三角函数直接解决或根据图形中的数量关系解决.
