高观点下的初中数学教学.ppt

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1、高观点下的初中数学教学合肥师范学院数学系《中学数学教学》编辑部张新全副教授硕导注册责任编辑初中数学中的几个关键词数（运算与运算法则）式子（运算与运算法则）图形（变换）函数概率统计一、数（1）自然数自然数是人们认识的所有数中最基本的一类，为了使数的系统有严密的逻辑基础，19世纪的数学家建立了自然数的两种等价的理论:自然数的序数理论和基数理论，使自然数的概念、运算和有关性质得到严格的论述。序数理论是意大利数学家G.皮亚诺提出来的。他总结了自然数的性质，用公理法给出自然数的如下定义。（皮亚诺公理）自然数集N是指满足以下条件

2、的集合：①N中有一个元素，记作0。②N中每一个元素都能在N中找到一个元素作为它的后继者。③0不是任何元素的后继者。④不同元素有不同的后继者。⑤（归纳公理）N的任一子集M，如果0∈M，并且只要n在M中就能推出n的后继者也在M中，那么M=N。康托的基数理论则把自然数定义为有限集的基数，这种理论提出，两个可以在元素之间建立一一对应关系的有限集具有共同的数量特征，这一特征叫做基数。这样，所有单元素集{x}，{y}，{a}，{b}等具有同一基数（用集合的形式表示），记作1。类似地，凡能与两个手指头建立一一对应的集合，它们的基数

3、相同，记作2，等等。自然数的加法、乘法运算可以在序数或基数理论中给出定义，并且两种理论下的运算及运算律是一致的。自然数集的性质：1、自然数集具有可列性（可数性）。自然数集N及其等价集合都叫做(无限）可列集或可数集。2、自然数集是有序集。自然数的顺序关系具有对逆性、传递性和三分性。3、自然数集具有阿基米德性质。4、自然数集具有离散性。5、（最小数原理）自然数集的任一非空子集中必有一个最小数。最小数原理与归纳公理等价。6、（N，+）、（N，·）都是可交换的半群。自然数的分类关于0的一些争议对于“0”，它是否包括在自然数之

4、内存在争议，有人认为自然数为正整数，即从1开始算起；而也有人认为自然数为非负整数，即从0开始算起。目前关于这个问题尚无一致意见。不过，在数论中，多采用前者；而在集合论中，则多采用后者。我国传统的教科书所说的自然数都是指正整数。在国外，有些国家的教科书是把0也算作自然数的。这本是一种人为的规定，我国为了推行国际标准化组织(ISO)制定的国际标准，定义自然数集包含元素0，也是为了早日和国际接轨。现行九年义务教育教科书和高级中学教科书(试验修订本)都把非负整数集叫做自然数集，记作N，而正整数集记作N+或N*。这就一改以往0

5、不是自然数的说法，明确指出0也是自然数集的一个元素。0同时也是有理数，也是非负数和非正数。注：0是偶数。（2002年国际数学协会规定,零为偶数.我国2004年也规定零为偶数。偶数可以被2整除，0照样可以，只不过得数依然是0而已，但是不可以说它没有缩小）。（2）整数N×N中序偶的等价类叫做整数，一切整数组成的集合叫做整数集，记作Z。利用同构映射，用构造法把自然数系统（N，+，·）扩张到整数环。整数是人类能够掌握的最基本的数学工具。整数的全体构成整数集，整数集合是一个数环。在整数系中，自然数为0和正整数的统称，称0为零，

6、称-1、-2、-3、…、-n、…(n为整数)为负整数。正整数、零与负整数构成整数系。一个给定的整数n可以是负数（n∈Z-），非负数（n∈Z*），零（n=0）或正数（n∈Z+）．整数的性质：1、整数集是有序环。数的顺序关系具有对逆性、传递性和三分性。2、整数集具有离散性。3、整数集是可数集。其基数等于阿列夫零。4、（Z，+）是交换群，（Z，·）是半群，（Z，+，·）是交换环。5、不满足阿基米德性质，也没有最大、最小数。整数的整除整除的概念及其性质如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。定义：设

7、a,b是给定的数，b≠0，若存在整数c，使得a=bc,则称b整除a，记作b

8、a，并称b是a的一个约数(因子)，称a是b的一个倍数，如果不存在上述c，则称b不能整除a。整数整除性的一些数码特征（略）整数的奇偶性(1)奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数，奇数×奇数=奇数；即任意多个偶数的和、差、积仍为偶数，奇数个奇数的和、差为偶数，偶数个奇数的和、差为奇数；（2）奇数的平方都可以表示成(8m+1)的形式，偶数的平方可以表示为8m或（8m+4)的形式；（3）若有限个整数

9、之积为奇数，则其中每个整数都是奇数；若有限个整数之积为偶数，则这些整数中至少有一个是偶数；两个整数的和与差具有相同的奇偶性；偶数的平方根若是整数，它必为偶数。完全平方数及其性质能表示为某整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数。平方数有以下性质与结论：（1）平方数的个位数字只可能是0,1，4,5，6,9；（2）偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方