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1、表示法:向量的模:向量的大小,向量:(又称矢量).既有大小,又有方向的量称为向量向径(矢径):自由向量:与起点无关的向量.起点为原点的向量.单位向量:模为1的向量,零向量:模为0的向量,有向线段M1M2,或a,第二节矢量代数1规定:零向量与任何向量平行;若向量a与b大小相等,方向相同,则称a与b相等,记作a＝b;若向量a与b方向相同或相反,则称a与b平行,a∥b;与a的模相同,但方向相反的向量称为a的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称两向量共线.若k(≥3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此k个向量共面.记作－a;2§6.2.1矢量运算
2、1.矢量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律:交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加.342.矢量的减法三角不等式53.数量与矢量的乘法是一个数,规定:可见与a的乘积是一个新向量,记作总之:运算律:结合律分配律因此6空间一点在轴上的投影4.矢量的射影7空间一向量在轴上的投影8关于向量的投影定理（1）证9定理1的说明：投影为正；投影为负；投影为零；(4)相等向量在同一轴上投影相等；105.矢量的分解与矢量的坐标在空间直角坐标系下,设点M则沿三个坐标轴方向的分向量.的坐标为此式称为向量r的坐标分解式,任意向量r可用向径OM表示.116.矢量的模 方向余
3、弦 方向数1.向量的模与两点间的距离公式则有由勾股定理得因得两点间的距离公式:对两点与12方向角与方向余弦设有两非零向量任取空间一点O,称=∠AOB(0≤≤)为向量的夹角.类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.与三坐标轴的夹角,,为其方向角.方向角的余弦称为其方向余弦.记作13方向余弦的性质:14作业：p-25习题6.1-6.210，18，15沿与力夹角为的直线移动,1.定义设向量的夹角为,称记作数量积(点积).引例.设一物体在常力F作用下,位移为s,则力F所做的功为§6.2.2两矢量的数量积16记作故数量积的基本性质为两个非零向量,则有172)交换律
4、3)结合律4)分配律事实上,当时,显然成立;18例1.证明三角形余弦定理证:则如图.设19例2.已知三点AMB.解:则求故20引例.设O为杠杆L的支点,有一个与杠杆夹角为符合右手规则矩是一个向量M:的力F作用在杠杆的P点上,则力F作用在杠杆上的力§6.2.3两矢量的矢量积21定义定义向量方向:(叉积)记作且符合右手规则模:向量积,称引例中的力矩思考:右图三角形面积S＝224.数量积的坐标表示设则当为非零向量时,由于两向量的夹角公式,得232.性质为非零向量,则∥5)分配律4)结合律证明:244.向量积的坐标表示式设则25向量积的行列式计算法26例4.已知三
5、点角形ABC的面积解:如图所示,求三27一点M的线速度例5.设刚体以等角速度绕l轴旋转,导出刚体上的表示式.解:在轴l上引进一个角速度向量使其在l上任取一点O,作它与则点M离开转轴的距离且符合右手法则的夹角为,方向与旋转方向符合右手法则,向径281.定义已知三向量称数量混合积.记作几何意义为棱作平行六面体,底面积高故平行六面体体积为则其§6.2.4两矢量的混合积292.混合积的坐标表示设303.性质(1)三个非零向量共面的充要条件是(2)轮换对称性:(可用三阶行列式推出)31例6.已知一四面体的顶点4),求该四面体体积.解:已知四面体的体积等于以向量为棱的平
6、行六面体体积的故32例7.证明四点共面.解:因故A,B,C,D四点共面.33内容小结设1.向量运算加减:数乘:点积:叉积:34混合积:2.向量关系:35
