2019_2020学年高中数学课时跟踪检测（七）空间向量的标准正交分解与坐标表示空间向量基本定理北师大版.docx

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1、课时跟踪检测（七）空间向量的标准正交分解与坐标表示空间向量基本定理一、基本能力达标1．给出下列命题：①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可以作为空间的一个基底；②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面；④已知{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．其中正确命题的个数是(　　)A．1　　　　　　　　　　B．2C．3D．4解析：选D　根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底．显然②正

2、确．③中由，，不能构成空间的一个基底，知，，共面．又，，过相同点B，知A，B，M，N四点共面．下面证明①④正确：假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使得d＝λa＋μb，∵d与c共线，c≠0，∴存在实数k，使得d＝kc.∵d≠0，∴k≠0，从而c＝a＋b，∴c与a，b共面，与条件矛盾，∴d与a，b不共面．同理可证④也是正确的．于是①②③④四个命题都正确，故选D.2．如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′中，E是平面A′B′C′D′的中心，a＝，b＝，c＝，＝xa＋yb＋zc，则(　　)A．x＝2，y＝1，z＝B．x＝2，y＝，z＝C．x＝，y＝，z＝1D．x＝，y＝，z＝解析：选A　＝＋

3、＝＋(＋)＝2a＋b＋c.3．空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且＝2，N为BC中点，则为(　　)A.a－b＋cB．－a＋b＋cC.a＋b－cD.a＋b－c解析：选B　＝＋＋＝＋－＋(－)＝－＋＋＝－a＋b＋c.4.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是面BB1C1C的中心，且＝a，＝b，＝c，则＝(　　)A.a＋b＋cB.a－b＋cC.a＋b－cD．－a＋b＋c解析：选D　＝＋＝＋(＋)＝c＋(－＋＋)＝c－a＋(－c)＋b＝－a＋b＋c.5．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，CC1＝1，则在上的投影是________．解析：在上的投影

4、为

5、

6、cos〈，〉，在△ABC1中，cos∠BAC1＝＝＝＝，又

7、

8、＝.∴

9、

10、cos〈·〉＝×＝－2.答案：－26．在三棱锥O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________(用a，b，c表示)．解析：如图，＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋(－＋－)．＝＋＋＝a＋b＋c.答案：a＋b＋c7．已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为1的正方体，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出A，B，C，D，A1，B1，C1，D1各点的坐标，并写出，，，，，，的坐标表示．解：∵正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，∴A(1,0,0),B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0

11、,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，D1(0,0,1)．∴＝(1,0,0)，＝(1,1,0)，＝(0,1,0)，＝(0,1,1)，＝(0,0,1)，＝(1,0,1)，＝(1,1,1)．8.如图所示，正方体OABCO′A′B′C′，且＝a，＝b，＝c.(1)用a，b，c表示向量，；(2)设G，H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示.解：(1)＝＋＝＋＋＝a＋b＋c.＝＋＝＋＋＝＋－＝b＋c－a.(2)法一：连接OG，OH(图略)，则＝＋＝－＋＝－(＋)＋(＋)＝－(a＋b＋c＋b)＋(a＋b＋c＋c)＝(c－b)．法二：连接O′C，则

12、＝＝(－)＝(c－b)．二、综合能力提升1．设{i，j，k}是单位正交基底，已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则向量p在基底{i，j，k}下的坐标是(　　)A．(12,14,10)　　　　　B．(10,12,14)C．(14,12,10)D．(4,3,2)解析：选A　依题意，知p＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k，故向量p在基底{i，j，k}下的坐标是(12,14,10)．2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为1，则在上的投影为(　　)A．－B.C．－D.解析：选B

13、　∵正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，∴

14、

15、＝，

16、

17、＝，

18、

19、＝.∴△AB1C是等边三角形．∴在上的投影为

20、

21、cos〈，〉＝×cos60°＝.3．已知向量和在基底{a，b，c}下的坐标分别为(3,4,5)和(0,2,1)，若＝，则向量在基底{a，b，c}下的坐标是(　　)A.B.C.D.解析：选A　∵＝－＝(2b＋c)－(3a＋4b＋5c)＝－3a－2b－4c，∴＝＝－a－b－c，∴向量在基底{a，b