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1、二次函数……本章主要内容……22.1二次函数的图像和性质22.1二次函数的图像和性质基础回顾什么叫函数?在某变化过程中的两个变量x、y,当变量x在某个范围内取一个确定的值,另一个变量y总有唯一的值与它对应。这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关系。对于上述变量x、y,我们把y叫x的函数。x叫自变量,y叫应变量。目前,我们已经学习了那几种类型的函数?二次函数变量之间的关系函数一次函数反比例函数y=kx+b(k≠0)正比例函数y=kx(k≠0)y=k/x(k≠0)函数知多少节日的喷泉给人带来喜庆,你是否注意过水流所经过的路线?它会与某种函数
2、有联系吗?奥运赛场腾空的篮球正方体的六个面是全等的正方形,设正方形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值,y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表示为问题:y=6x2亲历知识的发生和发展函数①②③有什么共同点?观察:y=6x2①在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式表示的。定义:一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量,a为二次项系数,ax2叫做二次项,b为一次项系数,bx叫做一次项,c为常数项。(1)等号左边是变量y,右边是关于自变量x的(3)等式的右边最高次数为
3、,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项。注意:(2)a,b,c为常数,且(4)x的取值范围是任意实数。整式。a≠0.2(5)函数的右边是一个整式。二次函数的一般形式:y=ax2+bx+c(其中a、b、c是常数,a≠0)二次函数的特殊形式:当b=0时,y=ax2+c当c=0时,y=ax2+bx当b=0,c=0时,y=ax21、说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项(1)y=-x2+58x-112(2)y=πx22、指出下列函数y=ax²+bx+c中的a、b、c(1)y=-3x2-x-1(3)y=x(1+x)(2)y=5x2-6看
4、谁反应快例题讲解例1、下列函数中,哪些是二次函数?若是,分别指出二次项系数,一次项系数,常数项。(1)y=3(x-1)²+1(2)y=x+(3)s=3-2t²(4)y=(x+3)²-x²(5)y=-x(6)v=8πr²1x__x²1__思考:2.二次函数的一般式y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有什么联系和区别?驶向胜利的彼岸你知道吗联系(1)等式一边都是ax2+bx+c且a≠0(2)方程ax2+bx+c=0可以看成是函数y=ax2+bx+c中y=0时得到的.区别:前者是函数.后者是方程.等式另一边前
5、者是y,后者是0知识运用例1:下列函数中,哪些是二次函数?(1)y=3x-1()(2)y=3x2()(3)y=3x3+2x2()(4)y=2x2-2x+1()(5)y=x-2+x()(6)y=x2-x(1+x)()不是是不是不是是不是知识运用m2—2m-1=2m+1≠0∴m=3例2:m取何值时,函数y=(m+1)x+(m-3)x+m是二次函数?解:由题意得一次函数y=kx+b(k≠0),其中包括正比例函数y=kx(k≠0),反比例函数y=(k≠0),二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)。小结:现在我们学习过的函数有:可以发现,这些函数的名
6、称都形象地反映了函数表达式与自变量的关系。想一想例2、y=(m+3)x(1)m取什么值时,此函数是正比例函数?(2)m取什么值时,此函数是反比例函数?(3)m取什么值时,此函数是二次函数?m2-7例题讲解解:(1)当m2-7=1且m+3≠0即m=±时是正比例函数。(2)当m2-7=-1且m+3≠0即m=±时是反比例函数。(3)当m2-7=2且m+3≠0即m=3时是二次函数。1.一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积s与半径r之间的关系式.2.n支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛,写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式.随堂练习S=2
7、πr2+2πr2即S=4πr2即随堂练习3、下列函数中,(x是自变量),是二次函数的有。Ay=ax2+bx+cBy2=x2-4x+1Cy=x2Dy=2+√x2+14.函数y=(m-n)x2+mx+n是二次函数的条件是()Am,n是常数,且m≠0Bm,n是常数,且n≠0Cm,n是常数,且m≠nDm,n为任何实数BCC一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园,和墙垂直的一边长为Xm,菜园的面积为Ym2,求y与x之间的函数关系式,并说出自变量的取值范围。当x=12m时,计算菜园的面积。xmym2xm(40-2x)m解:由题意得:Y=x(
8、40-2x)即:Y=-2x2+40x(0