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《高中数学知识要点重温之(24)导数的定义及几何意义.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、导数的定义及几何意义编辑整理：烟花四月1•f'（x0）=lim""+山）—叫函数y=/（x）在兀T兀°处的导数,记作y'lx=Vo<.山toAx注：①函数应在点X。的附近有定义，否则导数不存在。②在定义导数的极限式中，心趋近于0可正、可负、但不为0,而Ay可能为0。③生是函数y=/（x）对自变量兀在Ax范围Ax内的平均变化率，它的几何意义是过曲线y=.fO）上点（兀°,/（x0））及点（心+心，fx.+心°））的割线斜率。④导数十（兀0）=［⑴］/（"+山）一/（人』是函数），=f（朗在山->0Aa*点乳0的处瞬时变化率，它反映的函数），=/（X）在兀°点处变化的快慢程度，它
2、的几何意义是曲线y=/（x）上点（兀。，/（^0））处的切线的斜率。⑤若极限［叫一不存在，则称函数y=/（x）在点处不可导。⑥如果函数y=/'（X）在开区间（a,〃）内每一点都有导数，则称函数丁=/（兀）在开区间（a,b）内可导；此时对于每一个x€（%）,都对应着一个确定的导数fx）,从而构成了一个新的函数『（Q,称这个函数//（无）为函数），=/⑴在开区间⑺劝内的导函数，简称导数；导数与导函数都称为导数，这要加以区分:求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。［举例1］若//（心）二2,贝叫叫/缶等于：（A）-l（B）-2（C）l（D）1/2
3、解析：•••f'（x0）=2,B
4、Jlim川儿+（一k）17（Xo）lim，（勺_字/如=-i。J04o-k52k［举例2］已知a>0,〃为正整数•设y=（x-ay,证明）「=/1（兀一。）心解析：木题可以对y=（x-d）"展开示“逐项”求导证明；这里用导数的定义证明：/.（兀+Ax—a）"—（x—a）"y=lim=mtoAx「(x~+C：?(A*_a)"1Aa*+C~(x—tz)n~(Ay)""+•••4-C"(Ax)n—(x—ci)11ztoAxn(x-a)""Ax+C；(x-q)‘l2(心尸+…+c：：(心)“lim山TO心+C；(x—ay-2Ax+C：(x-ay-3(A
5、x)2+…+C：(Ax),,_,]=n(x-a)"」［巩固1］一质点作曲线运动，它的位移S与时间方的关系为：S=^-+2t2,试用导数的定义求t=3时的速度。［巩固2］设C是成木，q是产最，成木与产景的函数关系式为C=C(q),当产量为％时，产量变化人?对成本的煤响可用增量比—=Gy")二池)刻划.如果无限趋qq近于0时，——无限趋近于常数A,经济学上称A为边际成木.它表明当产量为么时，增△q加单位产量需付出成木A(这是实际付出成本的一个近似值)。设生产x个单位产品的总成V2本函数是C(x)=8+—,则生产8个单位产品时，边际成本是：()8A-2B.8C.10D.162.常
6、用导数公式:c*=0,{xny=nxn~(ex)f=e(lnx/=-;导数的运算法则：若函数/(X)与g(x)的导数存在，则［f(x)±g(x)］,=fx)±gx),/•(%),［fMg(x)］f=f/(x)g(x)+f(x)g,M；(1^)/=丿_(门巩门二/(这个公式很容易记错，注意和“积的导数”对比)；g)八⑴复合函数的导数：由y=/(«)与u=(p(兀)得到复合函数y=f［^(x)］,则y；二儿.ux。［举例1］已知/(x)=x3+x2/Z(l)一兀，则/z(2)=o解析：f⑴是W，.•.//(x)=3x2+2V/(I)-I=>//(1)=3+2//(1)-1^
7、//(1)=-2A/z(x)=3x2-4x-l,故/z(2)=3o［举仞J2wN+，C+2C；+3C；+•••+nC；；=。解析：本题可以用“倒序相加”法，也可以用“通项变化”法(kC>nC牡)：这里，我们观察(1+x)n=C?+Cx+C；x2+C語+…+C；f①，不难发现其通项Cxk求导后的系数正是所求“项”；故考虑对①式两边同求导数，得：“(1+x)"二C：+2C；尢+3C>2+•••+“€>"=令日得：C：+2C：+3C；+.・+C；j・2“［巩固1］已知f(x)=x-l-2x+2ax(x>0).令F(x)=xff(x),则Fz(x)=。［巩固2］己知函
8、数/(a)=(x+l)(2x+l)(3x+1)••-(/zx+1),则/z(0)的值为：A-C；B.C；+1C..D.心2.函数f(X)在x=兀0处的导数广(兀°)的几何意义:曲线C:y=f(x)在其上点P(xQ,y0)处的切线的斜率。用导数研究切线问题，切点是关键(切点在切线上、切点在曲线上、切点横坐标的导函凌攵值为切线斜率)。丄［举例1］曲线)，=0在点(4,云)处的切线与坐标轴所围三和形的面积为()9A.—e?B.4e?C.2e2D.e?(07高考海南理10)2丄1丄1解析：y=0=>
