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1、§8.2偏导数一、偏导数的定义及其计算法二、高阶偏导数一、偏导数的定义及其计算法类似地,可定义函数zf(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数.偏导数的定义设函数zf(xy)在点(x0y0)的某一邻域内有定义若极限存在则称此极限为函数zf(xy)在点(x0y0)处对x的偏导数记作>>>一、偏导数的定义及其计算法偏导数的定义偏导数的符号如果函数zf(x,y)在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数都存在,那么f(x,y)对x的偏导数是x、y的函数,这个函数称为函数zf(x,y)对x的偏导函数(简称
2、偏导数),记作偏导函数一、偏导数的定义及其计算法偏导数的定义偏导数的符号偏导函数偏导函数的符号>>>偏导函数偏导数的概念还可推广到二元以上的函数例如三元函数uf(xyz)在点(xyz)处对x的偏导数定义为其中(xyz)是函数uf(xyz)的定义域的内点偏导数的求法求函数对一个自变量的偏导数时,只要把其它自变量看作常数,然后按一元函数求导法求导即可.偏导函数讨论下列求偏导数的方法是否正确?例1求zx23xyy2在点(1,2)处的偏导数.解例2求zx2sin2y的偏导数.解解证例3例4偏导
3、数的几何意义fx(x0,y0)=[f(x,y0)]xfy(x0,y0)=[f(x0,y)]yz=f(x,y0)z=f(x0,y)是截线z=f(x,y0)在点(x0,y0)处的切线Tx对x轴的斜率.是截线z=f(x0,y)在点(x0,y0)处的切线Ty对y轴的斜率.偏导数的几何意义偏导数与连续性对于多元函数来说,即使各偏导数在某点都存在,也不能保证函数在该点连续.例如但函数在点(0,0)并不连续.在点(0,0),有fx(0,0)0,fy(0,0)0,提示:提示:当点P(xy)沿直线ykx趋于点(00)时有因
4、此函数f(xy)在(00)的极限不存在当然也不连续二、高阶偏导数二阶偏导数如果函数zf(x,y)的偏导数fx(x,y)、fy(x,y)也具有偏导数,则它们的偏导数称为函数zf(x,y)的二阶偏导数.函数zf(x,y)的二阶偏导数有四个:其中fxy(x,y)、fyx(x,y)称为混合偏导数.类似地可定义三阶、四阶以及n阶偏导数.解此例中两个混合偏导数是相等的.那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等定理解证例7