天津市历届大学生数学竞赛试题.doc

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1、.2001年天津市大学数学竞赛试题参考答案（理工类）一、填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横杠上面。）1.函数在（-∞，+∞）上连续，则a=2。2.设函数y=y(x)由方程所确定，则。3.由曲线与x轴所围成的图形的面积A=。4.设E为闭区间[0，4π]上使被积函数有定义的所有点的集合，则。5．设L是顺时针方向的椭圆，其周长为l，则4l。二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案

2、多于一个，不得分。）1.若且，则（D）（A）存在；（B）（C）不存在；（D）A、B、C均不正确。2.设，，则当时，（A）（A）与为同阶但非等价无穷小；（B）与为等价无穷小；（C）是比更高阶的无穷小；（D）是比更低阶的无穷小。3.设函数对任意x都满足，且，其中a、b均为非零常数，则在x=1处（D）（A）不可导；（B）可导，且；（C）可导，且；（D）可导，且。4.设为连续函数，且不恒为零，I=，其中s>0，t>0，则I的值（C）（A）与s和t有关；（B）与s、t及x有关；....（C）与s有关，与t无关

3、；（D）与t有关，与s无关。5.设u(x，y)在平面有界闭区域D上具有二阶连续偏导数，且满足及，则（B）。（A）u(x，y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部；（B）u(x，y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上；（C）u(x，y)的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上；（D）u(x，y)的最小值点在区域D的内部，最大值点在区域D的边界上。以下各题的解答写在试题纸上，可以不抄题，但必须写清题号，否则解答将被视为无效。三、求极限。（本题6分）解：；；；由此得到：。四、计算。（

4、本题6分）解：命：，于是....五、设函数的所有二阶偏导数都连续，，，求。（本题6分）解：两边对x求导，得到代入，求得，两边对x求导，得到，两边对x求导，得到。以上两式与已知联立，又二阶导数连续，所以，故。六、在具有已知周长2p的三角形中，怎样的三角形的面积最大？（本题7分）解：设三角形的三条边长分别为x、y、z，由海伦公式知，三角形的面积S的平方为则本题即要求在条件x+y+z=2p之下S达到的最大值。它等价于在相同的条件下S2达到最大值。设，问题转化成求在上的最大值。其中D中的第3个条件是这样得到

5、的，由于三角形的任意两边之和大于第三边，故有x+y>z，而由假设x+y+z=2p，即z=2p－（x+y），故有x+y>z=2p－（x+y），所以有x+y>p。由，求出在D内的唯一驻点。因在有界闭区域上连续，故在....上有最大值。注意到在的边界上的值为0，而在D内的值大于0。故在D内取得它在上的最大值。由于在D内的偏导数存在且驻点唯一，因此最大值必在点M处取得。于是有，此时x=y=z=，即三角形为等边三角形。七、计算。（本题8分）解：先从给定的累次积分画出积分区域图，再交换累次积分次序，得到。八、计

6、算曲面积分，其中Σ为上半球面的上侧。（本题7分）解：记S为平面z=0（x2+y2≤a2)的下侧，Ω为Σ与S所围的空间区域，九、已知a>0，x1>0，定义求证：存在，并求其值。（本题8分）解：第一步：证明数列的极限存在：....注意到：当n≥2时，≥，因此数列有下界。又≤，即xn+1≤xn，所以单调递减，由极限存在准则知，数列有极限。第二步：求数列的极限设：，则有≥。由，有，解得（舍掉负根），即。十、证明不等式。（本题7分）证明：设，则。命，得到驻点x=0。由可知x=0为极小值点，亦即最小值点，最小值

7、为，于是对任意有，即所证不等式成立。十一、设函数在闭区间[0，1]上连续，在开区间（0，1）内可导，且，求证：在开区间（0，1）内至少存在一点，使得。（本题7分）证明：由积分中值定理知，存在，使得....又函数在区间上连续，内可导，由罗尔定理知，至少存在一点，使得。十二、设在区间上具有二阶导数，且，，。证明。（本题8分）证明：对任意的，及任意的h>0，使x+h∈(a，+∞)，于是有，其中。即故，（，h>0）命，试求其最小值。命，得到，，所以，在处得极小值，亦即最小值，。故，（）。....2002年天

8、津市大学数学竞赛试题参考答案（理工类）一、填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1．。2．设摆线方程为则此曲线在处的法线方程为。3．。4．设在点(－1,1)处沿方向的方向导数。5．设Σ为曲面介于0≤Z≤R的部分，则。二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1.曲线的渐近线有（B）（A）1条；（B）2条；（C）3条；（