黄冈名师2020版高考数学大3.3利用导数研究函数的极值最值课件理新人教A版.ppt

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1、第三节利用导数研究函数的极值、最值(全国卷5年13考)【知识梳理】1.函数的极值与导数(1)函数的极小值与极小值点:若函数f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值_____,f′(a)=0,而且在点x=a附近的左侧_________,右侧_________,则点a叫做函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值.都小f′(x)<0f′(x)>0(2)函数的极大值与极大值点:若函数f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值_____,f′(b)=0,而且在点x=b附近的左侧_________,右侧_____

2、____,则点b叫做函数的极大值点,f(b)叫做函数的极大值.都大f′(x)>0f′(x)<02.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a,b]上有最值的条件:如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条_________的曲线,那么它必有最大值和最小值.连续不断(2)求y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步骤:①求函数y=f(x)在(a,b)内的_____;②将函数y=f(x)的各极值与________________________比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.极值端点处的函数值f(a),f(b)【常用结论】1.辨明两

3、个易误点(1)求函数极值时,误把导数为0的点作为极值点.(2)易混极值与最值,注意函数最值是个“整体”概念,而极值是个“局部”概念.2.明确两个条件(1)f′(x)>0在(a,b)上成立,是f(x)在(a,b)上单调递增的充分不必要条件.(2)对于可导函数f(x),f′(x0)=0是函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件.3.记住两个结论(1)若函数在开区间(a,b)内的极值点只有一个,则相应极值点为函数最值点.(2)若函数在闭区间[a,b]的最值点不是端点,则最值点亦为极值点.【基础自测】题组一:走出误区1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“

4、×”)(1)函数f(x)在区间(a,b)内一定存在最值.()(2)函数的极大值一定比极小值大.()(3)对可导函数f(x),f′(x0)=0是x0为极值点的充要条件.()(4)函数的最大值不一定是极大值,最小值也不一定是极小值.()(5)函数f(x)=x3+ax2-x+1必有2个极值.()答案:(1)×.例如函数f(x)=x,在(1,2)内不存在最值.(2)×.函数的极大值比局部的函数值大,不一定大于极小值.(3)×.对可导函数f(x),f′(x0)=0是x0为极值点的必要条件.(4)√.最值和极值是不同的概念.函数的最值可能是极值,也可能是在区间端点处

5、取得.(5)√.f′(x)=3x2+2ax-1,判别式Δ=4a2+12>0,所以f′(x)=0有两个不同的实根,所以函数f(x)必有2个极值.2.已知函数f(x)的定义域为(a,b),导函数f′(x)在(a,b)上的图象如图所示,则函数f(x)在(a,b)上的极大值点的个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由函数极值的定义和导函数的图象可知,f′(x)在(a,b)上与x轴的交点个数为4,但是在原点附近的导数值恒大于零,故x=0不是函数f(x)的极值点,其余的3个交点都是极值点,其中有2个点满足其附近的导数值左正右负,故极大值点有2个.3.(20

6、18·沈阳模拟)设函数f(x)=lnx-ax2-bx,若x=1是f(x)的极大值点,则a的取值范围为________.【解析】f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=-ax-b,由f′(1)=0,得b=1-a.所以f′(x)=-ax+a-1=①若a≥0,当00,f(x)单调递增;当x>1时,f′(x)<0,f(x)单调递减,所以x=1是f(x)的极大值点.②若a<0,由f′(x)=0,得x=1或x=-.因为x=1是f(x)的极大值点,所以->1,解得-1-1.答案:(-1,+∞)题组二:走

7、进教材1.(选修2-2P28例4改编)若函数f(x)=2x3-x2+ax+3在区间(-1,1)内恰有一个极值点,则实数a的取值范围为()A.(-8,-4)B.[-8,-4)C.(-8,-4]D.(-∞,-8]∪[-4,+∞)【解析】选C.由题意f′(x)=6x2-2x+a,则f′(-1)f′(1)<0,即(a+4)(a+8)<0,得-8

8、lnx-x在区间(0,e]上的最大值为()A.1-eB.-1C.-eD.0【解析