经济数学第二篇教案2.1.3换元积分法.doc

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1、新编经济应用数学（微分学积分学）第五版课题2.1.3换元积分法（2学时）时间年月日教学目的要求1、掌握第一换元积分法。2、掌握第二换元积分法。重点换元积分法难点换元积分法教学方法手段讲授为主主要内容时间分配一、凑微分法45分钟二、去根号法45分钟作业备注12.1.3换元积分法新编经济应用数学§2.1.3换元积分法直接积分法只能求某些简单函数的不定积分，为解决更多的、较复杂的不定积分问题，还需要进一步的寻找求不定积分的其他方法。我们将分别学习不定积分的两种重要方法：换元积分法和分部积分法。本节课我们首先来学习换元积分法。一、第一类换元积分法（凑微分法）

2、例如，与类似，比较被积函数，我们可以把改写成的形式，令，就有===再把回代成，得=定理1（第一类换元积分法）若，且有连续导数，则这种方法称为第一类换元积分法，也叫做凑微分法，具体步骤可以表示为：【例1】求。解【例2】求。92.1.3换元积分法新编经济应用数学解补充：常用凑微分公式【例3】求。解【例4】求解【例5】求。92.1.3换元积分法新编经济应用数学解=由于，所以===+C即=+C【例6】求。解因为，所以===【例7】求。解==【例8】求。解======92.1.3换元积分法新编经济应用数学【例9】求。解=【例10】求。解=====类似地可得二、

3、第二类换元积分法（去根号法）第一类换元积分法是通过变量代换，将积分化为。第二类换元法则相反，是通过变量代换将积分化为，而这个积分是容易计算的。【例11】求。解令得，且，代入有92.1.3换元积分法新编经济应用数学【例12】求解被积函数中含有和两个根式，作变换,可同时将两个根号去掉，,则====2-3+6补充：由例题我们总结如下：当被积函数中含有根式时，则令t=来去掉根式；当被积函数中含有根式和时，则令,其中p为n和m的最小公倍数。【例13】求解作变量替换（），则，则用代入，并由，有【例14】求92.1.3换元积分法新编经济应用数学解设，则，而则。为了

4、把换成的函数，我们根据作辅助三角形（如图所示）即从而====其中。【例15】求。解设则，，为了把换成的函数，我们可以根据作辅助三角形（如图所示），即得92.1.3换元积分法新编经济应用数学，因此其中。92.1.3换元积分法新编经济应用数学92.1.3换元积分法