线段垂直平分线的性质.ppt

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1、15.2线段的垂直平分线第15章轴对称图形与等腰三角形高庙九年制学校卢晓翠1.理解和掌握线段垂直平分线的性质;（难点）2.通过观察、实验、猜测、验证与交流等活动，初步形成数学学习的方法;（难点）3.在数学学习的活动中，养成良好的思维习惯．学习目标导入新课情境引入市政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处才能使得它到三个小区的距离相等?ABC讲授新课线段垂直平分线的尺规作图一问题：怎样作出线段的垂直平分线？做一做：在半透明纸上画一条线段AB

2、，折纸使A与B重合，得到的折痕l就是线段AB的垂直平分线.想一想：还有什么方法作出线段的垂直平分线呢？ABA(B)ABlOlCOABCD作法：（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于C，D两点.（2）作直线CD.CD即为所求.想一想：这样折纸怎么就是垂直平分线呢？线段垂直平分线的性质二如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l上的点，请你量一量线段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的长，你能发现什么，请猜想点P1，P2，P3，…到点A与点B的距离之间的

3、数量关系．ABlP1P2P3探究发现P1A____P1BP2A____P2BP3A____P3B＝＝＝猜想：点P1，P2，P3，…到点A与点B的距离分别相等．命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.由此你能得到什么结论？你能验证这一结论吗？已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在l上．求证：PA=PB．证明：∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB．又AC=CB，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）．∴PA=PB．PABlC验证结论例1如图，在△ABC中，AB＝AC＝2

4、0cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为()A．5cmB．10cmC．15cmD．17.5cm典例精析C解析：∵△DBC的周长为BC＋BD＋CD＝35cm，又∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝35cm.∵AC＝AD＋DC＝20cm，∴BC＝35－20＝15(cm).故选C.方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．练一练：1.如图①所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点

5、，且PA=5，则线段PB的长为（）A.6B.5C.4D.32.如图②所示，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E,△BCE的周长等于18cm,则AC的长是.B10cmPABCD图①ABCDE图②例2如图，已知点A、点B以及直线l.(1)用尺规作图的方法在直线l上求作一点P，使PA＝PB.(保留作图痕迹，不要求写出作法)；(2)在(1)中所作的图中，若AM＝PN，BN＝PM，求证：∠MAP＝∠NPB.MNABl解：(1)如图所示：(2)在△AMP和△BNP中，∵A

6、M=PN，AP＝BP，PM＝BN，∴△AMP≌△PNB(SSS)，∴∠MAP＝∠NPB.MNABlP例3如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.解析：(1)根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答．(2)根据线段垂直平分线的性质判断出AB＝BF即可．证明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF.∵E是CD的

7、中点，∴DE＝EC.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴FC＝AD.(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF.∵BE⊥AE，∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB＝BF＝BC＋CF.∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD.定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.逆命题到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.它是真命题吗？你能证明吗？线段垂直平分线的判定三已知：PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上.证明：作PC⊥AB,垂足为C.∴∠ACP=∠BCP=90°.在R

8、t△ACP和Rt△BCP中，∴Rt△ACP≌Rt△BCP（HL），∴AC=BC，∴点P在线段AB的垂直平分线上.PA=PB，PC=PC，lCABP知识要点线段垂直平分线的判定到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．应用格式：∵PA=PB，∴点P在AB的垂直平分线上．PAB作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.例4如图,已知△ABC的边AB,AC的垂直平分线相交于点P.求证:点P在BC的垂直平分线上.BCAP证明：连接PA，PB，PC.∵点P在AB，AC的垂直平分线上，∴PA