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《高等数字信号处理 教学课件 作者 吴正国 尹为民 第3章 高阶谱估计.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第三章高阶谱估计3.1累量及高阶谱3.2高阶谱估计3.3有色噪声背景下的频率估计3.4高阶谱的应用3.1累量与高阶谱(CumulantsandHigherOrderSpectral简记：HOS)3.1.1、累量的定义1、随机变量的特征函数和矩函数为的特征函数。其中为概率密度函数第二特征函数：对于高斯分布的随机变量，其特征函数为:令则根据公式：则矩函数的定义2、累量的定义对于随机矢量其阶数为的累量为当时,其n阶累量可记为:高阶矩与高阶累量的关係(M-C公式):对于零均值随机变量,三阶以下的矩与累量相等,而3、平稳随
2、机过程的累量对于零均值实平稳随机过程{x(n)},其k阶矩(k阶相关函数)和k阶累量分别为:为方差为斜度为峭度当时,特别称4、高斯过程的累量单个高斯随机变量维零均值高斯随机矢量其方差矩阵为其中令联合概率密度函数为则特征函数为：显然，与单个变量类似，由于第二特征函数仅为的二阶多项式，大于二阶的导函数必然为零。对于任何高斯随机过程{x(n)}的阶次高于二的k阶累量恒等于零,即这是高阶累量作为数学工具,抑制高斯噪声的基础因此有如下结论：高斯过程的高阶矩只取决于二阶矩,也就是高阶矩不提供比二阶矩更多的信息.与某一高斯过程
3、具有相同二阶矩的任意随机过程,其k>2的高阶累量是衡量该过程偏离高斯分布的量度.3.1.2、累量的性质常量乘积的线性各随机变量的对称性若{x}和{y}统计独立,则此性质说明:两统计独立的随机过程之和的累量等于各累量之和.所以,非高斯信号与独立高斯噪声之和的k(k>2)阶累量就等于信号的累量.即累量可抑制高斯噪声.两统计独立的随机向量的组合向量的累量恒为零.即若{x}与{y}统计独立,则推论:如果{w(t)}是独立同分布过程(I.I.d),则其累量为δ函数.即3.1.3、高阶谱1、定义：假定随机过程{x(n)}的k
4、阶累量是绝对可和的，则其k阶谱是k阶累量的(k-1)维富里叶变換，即当k=3时,三阶谱(双谱),并特别记为：。四阶谱(三谱)：高阶谱的逆变換公式为：①高斯过程的k>2的k阶谱恒为零；②非高斯的、广义白噪声过程(I.I.d.)的高阶谱为平坦谱，即高阶谱一般为复函数,即可表示相位信息(常数)两种特殊的高阶谱：2、高阶谱的对称性:高阶谱是以2π为周期的多维周期函数,即包含全部信息的主值周期,一般指下述区域:高阶谱具有对称性(源于累量的对称性),以双谱为例此外,对于实信号还应满足共轭对称性,即所以,双谱共有12个对称区域
5、(如图所示)综合考虑周期性与对称性,双谱的主值区域为:3.2高阶谱估计从己知一段样本序列{x(1),x(2),…….,x(N)}出发,进行高阶谱估计的方法,与功率谱估计类似,也可分为非参数法和参数法两大类。3.2.1、非参数法谱估计1、基本思路：假定n<=0或n>=N+1范围内,样本值x(n)=0,由高阶谱的定义直接构造谱估计式。2、优缺奌：非参数法高阶谱估计的优点是简单、易于实现、可以使用FFT算法。但与功率谱估计的传统方法一样，它存在以下三个主要问题：频谱泄漏：平稳随机过程的样本序列应为双边无限序列，在非参数
6、法高阶谱估计中假定n<=0或n>=N+1时x(n)恒等于零，必将导致矩函数的估计结果被“截尾”，与传统的功率谱估计方法类似，这将在所估计的高阶谱中产生“频谱泄漏”。为改善高阶谱估计的性能，减少“频谱泄漏”，必须对矩函数估计值进行适当的加窗处理。频率分辨率：在非参数法高阶谱估计中，其富里叶变换都是用DFT实现的。因此，最后得到的高阶谱谱线间的距离(频率分辨率)必然与所用的样本序列的长度成反比。即用于计算DFT的时间序列长度越长，则频率分辨率越高。估计方差：可以证明,非参数法高阶谱估计是渐近无偏的，但一般存在较大的估
7、计方差。为减少估计方差，可采用时域平滑或频域平滑的方法，但平滑的结果必然使频率分辨率下降。因此，估计方差与频率分辨率之间的矛盾是非参数法谱估计的固有矛盾。3、确定性信号的高阶谱4、主要方法：平滑周期图法(直接法)MATLAB实现：[bspec,waxis]=bispecd(x,nfft,wind,samp_seg,overlap)x：时域信号；nfft：FFT的长度；wind：Rao最优窗函数的长度；samp_seg：每个分段的长度；overlap：每段重迭长度；bspec：等高线显示的直接法双谱；waxis：频
8、率点矩阵；间接法：先估计高阶累量，再进行DFT。MATLAB实现：[bspec,waxis]=bispeci(x,nlag,samp_seg,overlap,flag,nfft,wind,)x：时域信号；nfft：FFT的长度；wind：窗函数类型；samp_seg：每个分段的长度；overlap：每段重迭长度；nlag：计算累积量的最大延迟；flag：是否有偏；bspe
