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1、名师伴你行SANPINBOOK学案6空间向量及其运算考点1考点2考点3考点4名师伴你行SANPINBOOK填填知学情课内考点突破规律探究考纲解读考向预测名师伴你行SANPINBOOK考纲解读空间向量及其运算(1)了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.(3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.返回目录名师伴你行SANPINBOOK考向预测返回目录1.在高考中一般以选择、填空题的形式出现,属于低档题.2.空间向量是一
2、种重要的数学工具,空间向量的运算与平面向量的运算有很多相似或相同之处.在高考中,有时会单独考查空间向量的运算及性质,建立空间直角坐标系,利用空间向量运算的坐标表示,可以解决立体几何中的位置关系的证明、判断及空间角的计算;对解决探索性问题有独到之处.返回目录1.空间向量(1)定义:与平面向量一样,在空间,我们把具有和的量叫做空间向量,向量的叫做向量的长度或模.大小方向大小名师伴你行SANPINBOOK返回目录(3)特殊向量①零向量:我们规定,的向量叫做零向量,记为.②单位向量:的向量称为单位向量.③相反向量:,称为a的相反向量,记为-a.(2
3、)表示方法:与平面向量一样,空间向量也用有向线段表示.有向线段的长度表示向量的模.如图所示,向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作AB,其模记为或.
4、a
5、
6、AB
7、长度为00模为1与向量a长度相等而方向相反的向量名师伴你行SANPINBOOK④相等向量:的向量称为相等向量.因此,在空间,同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.2.空间向量的数乘运算(1)定义:实数λ与空间向量a的乘积仍是一个向量,称为向量的数乘运算.(2)向量a与λa的关系①当λ>0时,λa与a方向.②当λ=0时,λa=.③当λ<0时,λa与a方向.④λa的长度是
8、a的长度的倍,即
9、λa
10、=.返回目录方向相同且模相等λa相同0相反
11、λ
12、
13、λ
14、
15、a
16、名师伴你行SANPINBOOK(3)运算律①分配律:λ(a+b)=.②结合律:λ(μa)=(λμ)a.3.共线向量(1)共线向量的定义与平面向量一样,如果表示空间向量的有向线段所在的直线,则这些向量叫做共线向量或平行向量.(2)共线向量定理对于空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使.(3)共线向量的推论返回目录λa+λb互相平行或重合a=λb名师伴你行SANPINBOOK如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线,那么对于空
17、间任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,满足等式OP=OA+ta①,其中a叫做直线l的.如图所示,若在l上取AB=a,则①式可化为OP=.4.共面向量(1)共面向量的定义:通常把的向量,叫做共面向量.(2)共面向量定理:返回目录方向向量OA+tAB平行于同一个平面名师伴你行SANPINBOOK如果两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的实数对(x,y),使p=xa+yb.(3)共面向量定理的推论:如图,空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x,y),使MP=.或对空间一点O来说,有OP
18、=OM+xMA+yMB.5.两向量的夹角已知两个向量a,b,在空间任取一点O,作OA=a,OB=b,则叫做向量a与b的夹角,记作,范围为,如果=,则称a与b,记作.返回目录xMA+yMB非零∠AOB[0,π]互相垂直a⊥b名师伴你行SANPINBOOK6.数量积的定义已知两个非零向量a,b,则叫做a,b的数量积,记作a·b,即a·b=.零向量与任何向量的数量积为0.特别地,a·a==.7.数量积的运算律空间向量的数量积满足如下的运算律:(1)(λa)·b=λ(a·b);(2)a·b=b·a(交换律);(3)a·(b+c)
19、=a·b+a·c(分配律).返回目录
20、a
21、·
22、b
23、·cos
24、a
25、·
26、b
27、cosa2
28、a
29、2名师伴你行SANPINBOOK8.空间向量基本定理定理如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得.由此可知,如果三个向量a,b,c不共面,那么所有空间向量组成的集合就是.这个集合可看作是由向量a,b,c生成的,我们把叫做空间的一个基底,都叫做基向量,空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.返回目录p=xa+yb+zc{p
30、p=xa+yb+zc,x,y,z∈R}{a,b,c}a,b,
31、c名师伴你行SANPINBOOK9.空间向量的正交分解及其坐标表示设e1,e2,e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底),以e1,e2,e3的公共起