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《2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测:选修4-5-2不等式的证明.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、[课时跟踪检测] [基础达标]1.如果x>0,比较(-1)2与(+1)2的大小.解:(-1)2-(+1)2=[(-1)+(+1)][(-1)-(+1)]=-4.因为x>0,所以>0,所以-4<0,所以(-1)2<(+1)2.2.设不等式
2、2x-1
3、<1的解集为M.(1)求集合M;(2)若a,b∈M,试比较ab+1与a+b的大小.解:(1)由
4、2x-1
5、<1,得-1<2x-1<1,解得06、07、b-1)>0.故ab+1>a+b.3.(2017届重庆第一次适应性测试)设a,b,c∈R+,且a+b+c=1.(1)求证:2ab+bc+ca+≤;(2)求证:++≥2.证明:(1)因为1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≥4ab+2bc+2ca+c2,所以2ab+bc+ca+=(4ab+2bc+2ca+c2)≤.(2)因为≥,≥,≥,所以++≥++=a+b+c≥2a+2b+2c=2.4.若a>0,b>0,且+=.(1)求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.解:(1)由=+≥,得ab8、≥2,且当a=b=时等号成立.故a3+b3≥2≥4,且当a=b=时等号成立.所以a3+b3的最小值为4.(2)由(1)知,2a+3b≥2≥4.由于4>6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.5.已知定义在R上的函数f(x)=9、x+110、+11、x-212、的最小值为a.(1)求a的值;(2)若p,q,r是正实数,且满足p+q+r=a,求证:p2+q2+r2≥3.解:(1)因为13、x+114、+15、x-216、≥17、(x+1)-(x-2)18、=3,当且仅当-1≤x≤2时,等号成立,所以f(x)的最小值等于3,即a=3.(2)证明:由(1)知p+q+r=3,又因为p,q,19、r是正实数,所以(p2+q2+r2)(12+12+12)≥(p×1+q×1+r×1)2=(p+q+r)2=9,即p2+q2+r2≥3.[能力提升]1.设函数f(x)=20、x-a21、.(1)当a=2时,解不等式f(x)≥7-22、x-123、;(2)若f(x)≤1的解集为[0,2],+=a(m>0,n>0),求证:m+4n≥2+3.解:(1)当a=2时,不等式为24、x-225、+26、x-127、≥7,∴或或解得x≤-2或x≥5,∴不等式的解集为(-∞,-2]∪[5,+∞).(2)证明:f(x)≤1,即28、x-a29、≤1,解得a-1≤x≤a+1,而f(x)≤1的解集是[0,230、],∴解得a=1,∴+=1(m>0,n>0),∴m+4n=(m+4n)=3++≥2+3(当且仅当m=2n=1+时取等号).2.已知函数f(x)=31、x-132、.(1)解不等式f(2x)+f(x+4)≥8;(2)若33、a34、<1,35、b36、<1,a≠0,求证:>f.解:(1)f(2x)+f(x+4)=37、2x-138、+39、x+340、=当x<-3时,由-3x-2≥8,解得x≤-;当-3≤x<时,-x+4≥8无解;当x≥时,由3x+2≥8,解得x≥2.所以不等式f(2x)+f(x+4)≥8的解集为.(2)证明:>f等价于f(ab)>41、a42、f,即43、ab-144、>45、a-b46、.47、因为48、a49、<1,50、b51、<1,所以52、ab-153、2-54、a-b55、2=(a2b2-2ab+1)-(a2-2ab+b2)=(a2-1)(b2-1)>0,所以56、ab-157、>58、a-b59、.故所证不等式成立.3.(2017届东湖区校级月考)设f(x)=60、x-361、+62、x-463、.(1)解不等式f(x)≤2;(2)已知实数x、y、z满足2x2+3y2+6z2=a(a>0),且x+y+z的最大值是1,求a的值.解:(1)当x<3时,不等式化为-x+3-x+4≤2,∴x≥2.5,∴2.5≤x<3;当3≤x≤4时,不等式化为x-3-x+4≤2,成立;当x>4时,不等式化为x64、-3+x-4≤2,∴x<4.5,∴465、2.5≤x≤4.5};(2)由柯西不等式[(x)2+(y)2+(z)2]·2+2+2≥x+·y+·z2=(x+y+z)2,因为2x2+3y2+6z2=a(a>0),所以a≥(x+y+z)2,因为x+y+z的最大值是1,所以a=1,当2x=3y=6z时,x+y+z取最大值,所以a=1.
6、07、b-1)>0.故ab+1>a+b.3.(2017届重庆第一次适应性测试)设a,b,c∈R+,且a+b+c=1.(1)求证:2ab+bc+ca+≤;(2)求证:++≥2.证明:(1)因为1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≥4ab+2bc+2ca+c2,所以2ab+bc+ca+=(4ab+2bc+2ca+c2)≤.(2)因为≥,≥,≥,所以++≥++=a+b+c≥2a+2b+2c=2.4.若a>0,b>0,且+=.(1)求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.解:(1)由=+≥,得ab8、≥2,且当a=b=时等号成立.故a3+b3≥2≥4,且当a=b=时等号成立.所以a3+b3的最小值为4.(2)由(1)知,2a+3b≥2≥4.由于4>6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.5.已知定义在R上的函数f(x)=9、x+110、+11、x-212、的最小值为a.(1)求a的值;(2)若p,q,r是正实数,且满足p+q+r=a,求证:p2+q2+r2≥3.解:(1)因为13、x+114、+15、x-216、≥17、(x+1)-(x-2)18、=3,当且仅当-1≤x≤2时,等号成立,所以f(x)的最小值等于3,即a=3.(2)证明:由(1)知p+q+r=3,又因为p,q,19、r是正实数,所以(p2+q2+r2)(12+12+12)≥(p×1+q×1+r×1)2=(p+q+r)2=9,即p2+q2+r2≥3.[能力提升]1.设函数f(x)=20、x-a21、.(1)当a=2时,解不等式f(x)≥7-22、x-123、;(2)若f(x)≤1的解集为[0,2],+=a(m>0,n>0),求证:m+4n≥2+3.解:(1)当a=2时,不等式为24、x-225、+26、x-127、≥7,∴或或解得x≤-2或x≥5,∴不等式的解集为(-∞,-2]∪[5,+∞).(2)证明:f(x)≤1,即28、x-a29、≤1,解得a-1≤x≤a+1,而f(x)≤1的解集是[0,230、],∴解得a=1,∴+=1(m>0,n>0),∴m+4n=(m+4n)=3++≥2+3(当且仅当m=2n=1+时取等号).2.已知函数f(x)=31、x-132、.(1)解不等式f(2x)+f(x+4)≥8;(2)若33、a34、<1,35、b36、<1,a≠0,求证:>f.解:(1)f(2x)+f(x+4)=37、2x-138、+39、x+340、=当x<-3时,由-3x-2≥8,解得x≤-;当-3≤x<时,-x+4≥8无解;当x≥时,由3x+2≥8,解得x≥2.所以不等式f(2x)+f(x+4)≥8的解集为.(2)证明:>f等价于f(ab)>41、a42、f,即43、ab-144、>45、a-b46、.47、因为48、a49、<1,50、b51、<1,所以52、ab-153、2-54、a-b55、2=(a2b2-2ab+1)-(a2-2ab+b2)=(a2-1)(b2-1)>0,所以56、ab-157、>58、a-b59、.故所证不等式成立.3.(2017届东湖区校级月考)设f(x)=60、x-361、+62、x-463、.(1)解不等式f(x)≤2;(2)已知实数x、y、z满足2x2+3y2+6z2=a(a>0),且x+y+z的最大值是1,求a的值.解:(1)当x<3时,不等式化为-x+3-x+4≤2,∴x≥2.5,∴2.5≤x<3;当3≤x≤4时,不等式化为x-3-x+4≤2,成立;当x>4时,不等式化为x64、-3+x-4≤2,∴x<4.5,∴465、2.5≤x≤4.5};(2)由柯西不等式[(x)2+(y)2+(z)2]·2+2+2≥x+·y+·z2=(x+y+z)2,因为2x2+3y2+6z2=a(a>0),所以a≥(x+y+z)2,因为x+y+z的最大值是1,所以a=1,当2x=3y=6z时,x+y+z取最大值,所以a=1.
7、b-1)>0.故ab+1>a+b.3.(2017届重庆第一次适应性测试)设a,b,c∈R+,且a+b+c=1.(1)求证:2ab+bc+ca+≤;(2)求证:++≥2.证明:(1)因为1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≥4ab+2bc+2ca+c2,所以2ab+bc+ca+=(4ab+2bc+2ca+c2)≤.(2)因为≥,≥,≥,所以++≥++=a+b+c≥2a+2b+2c=2.4.若a>0,b>0,且+=.(1)求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.解:(1)由=+≥,得ab
8、≥2,且当a=b=时等号成立.故a3+b3≥2≥4,且当a=b=时等号成立.所以a3+b3的最小值为4.(2)由(1)知,2a+3b≥2≥4.由于4>6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.5.已知定义在R上的函数f(x)=
9、x+1
10、+
11、x-2
12、的最小值为a.(1)求a的值;(2)若p,q,r是正实数,且满足p+q+r=a,求证:p2+q2+r2≥3.解:(1)因为
13、x+1
14、+
15、x-2
16、≥
17、(x+1)-(x-2)
18、=3,当且仅当-1≤x≤2时,等号成立,所以f(x)的最小值等于3,即a=3.(2)证明:由(1)知p+q+r=3,又因为p,q,
19、r是正实数,所以(p2+q2+r2)(12+12+12)≥(p×1+q×1+r×1)2=(p+q+r)2=9,即p2+q2+r2≥3.[能力提升]1.设函数f(x)=
20、x-a
21、.(1)当a=2时,解不等式f(x)≥7-
22、x-1
23、;(2)若f(x)≤1的解集为[0,2],+=a(m>0,n>0),求证:m+4n≥2+3.解:(1)当a=2时,不等式为
24、x-2
25、+
26、x-1
27、≥7,∴或或解得x≤-2或x≥5,∴不等式的解集为(-∞,-2]∪[5,+∞).(2)证明:f(x)≤1,即
28、x-a
29、≤1,解得a-1≤x≤a+1,而f(x)≤1的解集是[0,2
30、],∴解得a=1,∴+=1(m>0,n>0),∴m+4n=(m+4n)=3++≥2+3(当且仅当m=2n=1+时取等号).2.已知函数f(x)=
31、x-1
32、.(1)解不等式f(2x)+f(x+4)≥8;(2)若
33、a
34、<1,
35、b
36、<1,a≠0,求证:>f.解:(1)f(2x)+f(x+4)=
37、2x-1
38、+
39、x+3
40、=当x<-3时,由-3x-2≥8,解得x≤-;当-3≤x<时,-x+4≥8无解;当x≥时,由3x+2≥8,解得x≥2.所以不等式f(2x)+f(x+4)≥8的解集为.(2)证明:>f等价于f(ab)>
41、a
42、f,即
43、ab-1
44、>
45、a-b
46、.
47、因为
48、a
49、<1,
50、b
51、<1,所以
52、ab-1
53、2-
54、a-b
55、2=(a2b2-2ab+1)-(a2-2ab+b2)=(a2-1)(b2-1)>0,所以
56、ab-1
57、>
58、a-b
59、.故所证不等式成立.3.(2017届东湖区校级月考)设f(x)=
60、x-3
61、+
62、x-4
63、.(1)解不等式f(x)≤2;(2)已知实数x、y、z满足2x2+3y2+6z2=a(a>0),且x+y+z的最大值是1,求a的值.解:(1)当x<3时,不等式化为-x+3-x+4≤2,∴x≥2.5,∴2.5≤x<3;当3≤x≤4时,不等式化为x-3-x+4≤2,成立;当x>4时,不等式化为x
64、-3+x-4≤2,∴x<4.5,∴465、2.5≤x≤4.5};(2)由柯西不等式[(x)2+(y)2+(z)2]·2+2+2≥x+·y+·z2=(x+y+z)2,因为2x2+3y2+6z2=a(a>0),所以a≥(x+y+z)2,因为x+y+z的最大值是1,所以a=1,当2x=3y=6z时,x+y+z取最大值,所以a=1.
65、2.5≤x≤4.5};(2)由柯西不等式[(x)2+(y)2+(z)2]·2+2+2≥x+·y+·z2=(x+y+z)2,因为2x2+3y2+6z2=a(a>0),所以a≥(x+y+z)2,因为x+y+z的最大值是1,所以a=1,当2x=3y=6z时,x+y+z取最大值,所以a=1.
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