2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：选修4-5-2不等式的证明 Word版含解析

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1、[课时跟踪检测]　　　　　　　　　　　　　　[基础达标]1．如果x>0，比较(－1)2与(＋1)2的大小．解：(－1)2－(＋1)2＝[(－1)＋(＋1)][(－1)－(＋1)]＝－4.因为x>0，所以>0，所以－4<0，所以(－1)2<(＋1)2.2．设不等式

2、2x－1

3、<1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．解：(1)由

4、2x－1

5、<1，得－1<2x－1<1，解得0

6、00.故

7、ab＋1>a＋b.3．(2017届重庆第一次适应性测试)设a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1.(1)求证：2ab＋bc＋ca＋≤；(2)求证：＋＋≥2.证明：(1)因为1＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≥4ab＋2bc＋2ca＋c2，所以2ab＋bc＋ca＋＝(4ab＋2bc＋2ca＋c2)≤.(2)因为≥，≥，≥，所以＋＋≥＋＋＝a＋b＋c≥2a＋2b＋2c＝2.4．若a>0，b>0，且＋＝.(1)求a3＋b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．解：(1)由＝＋≥，得ab≥2，且当a＝b＝时等号成立．故

8、a3＋b3≥2≥4，且当a＝b＝时等号成立．所以a3＋b3的最小值为4.(2)由(1)知，2a＋3b≥2≥4.由于4>6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.5．已知定义在R上的函数f(x)＝

9、x＋1

10、＋

11、x－2

12、的最小值为a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正实数，且满足p＋q＋r＝a，求证：p2＋q2＋r2≥3.解：(1)因为

13、x＋1

14、＋

15、x－2

16、≥

17、(x＋1)－(x－2)

18、＝3，当且仅当－1≤x≤2时，等号成立，所以f(x)的最小值等于3，即a＝3.(2)证明：由(1)知p＋q＋r＝3，又因为p，q，r是正实数，所以(p2＋q2＋r2)(12＋12

19、＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9，即p2＋q2＋r2≥3.[能力提升]1．设函数f(x)＝

20、x－a

21、.(1)当a＝2时，解不等式f(x)≥7－

22、x－1

23、；(2)若f(x)≤1的解集为[0,2]，＋＝a(m>0，n>0)，求证：m＋4n≥2＋3.解：(1)当a＝2时，不等式为

24、x－2

25、＋

26、x－1

27、≥7，∴或或解得x≤－2或x≥5，∴不等式的解集为(－∞，－2]∪[5，＋∞)．(2)证明：f(x)≤1，即

28、x－a

29、≤1，解得a－1≤x≤a＋1，而f(x)≤1的解集是[0,2]，∴解得a＝1，∴＋＝1(m>0，n>0)，∴m＋4n＝(m＋

30、4n)＝3＋＋≥2＋3(当且仅当m＝2n＝1＋时取等号)．2．已知函数f(x)＝

31、x－1

32、.(1)解不等式f(2x)＋f(x＋4)≥8；(2)若

33、a

34、<1，

35、b

36、<1，a≠0，求证：>f.解：(1)f(2x)＋f(x＋4)＝

37、2x－1

38、＋

39、x＋3

40、＝当x<－3时，由－3x－2≥8，解得x≤－；当－3≤x<时，－x＋4≥8无解；当x≥时，由3x＋2≥8，解得x≥2.所以不等式f(2x)＋f(x＋4)≥8的解集为.(2)证明：>f等价于f(ab)>

41、a

42、f，即

43、ab－1

44、>

45、a－b

46、.因为

47、a

48、<1，

49、b

50、<1，所以

51、ab－1

52、2－

53、a－b

54、2＝(a2b2－2ab

55、＋1)－(a2－2ab＋b2)＝(a2－1)(b2－1)>0，所以

56、ab－1

57、>

58、a－b

59、.故所证不等式成立．3．(2017届东湖区校级月考)设f(x)＝

60、x－3

61、＋

62、x－4

63、.(1)解不等式f(x)≤2；(2)已知实数x、y、z满足2x2＋3y2＋6z2＝a(a>0)，且x＋y＋z的最大值是1，求a的值．解：(1)当x<3时，不等式化为－x＋3－x＋4≤2，∴x≥2.5，∴2.5≤x<3；当3≤x≤4时，不等式化为x－3－x＋4≤2，成立；当x>4时，不等式化为x－3＋x－4≤2，∴x<4.5，∴4

64、2.5≤x≤4.

65、5}；(2)由柯西不等式[(x)2＋(y)2＋(z)2]·2＋2＋2≥x＋·y＋·z2＝(x＋y＋z)2，因为2x2＋3y2＋6z2＝a(a>0)，所以a≥(x＋y＋z)2，因为x＋y＋z的最大值是1，所以a＝1，当2x＝3y＝6z时，x＋y＋z取最大值，所以a＝1.