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1、空间向量复习例3、如图，一块均匀的正三角形面的钢板的质量为500kg,在它的顶点处分别受力F1，F2，F3，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角都是60°，且
2、F1
3、=
4、F2
5、=
6、F3
7、=200kg.这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多少时，才能提起这块钢板？oABCF1F2F3500kg例4，如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。（1）求证：PA∥平面EDB；（2）求证：PB⊥平面EFD；（3）求二面角C-PB-D的大小。DABCEPFa
8、bOABba结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示。因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。3.1.1空间向量的运算平面向量概念加法减法数乘运算运算律定义表示法相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量具有大小和方向的量数乘:ka,k为正数,负数,零加法交换律加法结合律数乘分配律加法交换律数乘分配律加法结合律类比思想数形结合思想数乘:ka,k为正数,负数,零推广:（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；（2）首尾相接的若干向量若
9、构成一个封闭图形，则它们的和为零向量。ABCDA1B1C1D1GM始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量一、共线向量:零向量与任意向量共线.1.共线向量:空间两向量互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作2.共线向量定理:对空间任意两个向量的充要条件是存在实数λ使3.1.2共线向量定理与共面向量定理推论:如果为经过已知点A且平行已知非零向量的直线,那么对任一点O,点P在直线上的充要条件是存在实数t,满足等式OP=OA+t其中向量a叫做直线的方向向量.OABPa若P为A,B中点
10、,则假如OP=OA+tAB，则点P、A、B三点共线。可用于证明点共线二.共面向量:1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.OA注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面的了。2.共面向量定理:如果两个向量不共线,则向量与向量共面的充要条件是存在实数对使注：可用于证明三个向量共面推论:空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x,y使或对空间任一点O,有注意：证明空间四点P、M、A、B共面的两个依据实数对1、已知a=(2,4,5),b=(3,x,y),若a∥b,求x,y的值。2、证明：三向量a=e1+e2,b=3
11、e1-2e2,c=2e1+3e2共面；若a=mb+nc，试求实数m、n之值。1）两个向量的夹角OAB3.1.3空间向量的数量积向量a与b的夹角记作：2）两个向量的数量积注意：①两个向量的数量积是数量，而不是向量.②零向量与任意向量的数量积等于零。3）射影BAA1B1注意： 是轴l上的正射影,A1B1是一个可正可负的实数，它的符号代表向量 与l的方向的相对关系，大小代表在l上射影的长度。4)空间向量的数量积性质注意：①性质2）是证明两向量垂直的依据；②性质3）是求向量的长度（模）的依据；对于非零向量 ，有：5)空间向量的数量积满足的运算律
12、注意：数量积不满足结合律1、应用可证明两直线垂直，2、利用可求线段的长度。向量数量积的应用3.1.4空间向量正交分解及其坐标表示空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc.空间所有向量的集合{p
13、p=xa+yb+zc,x,y,z∈R}{a,b,c}叫做空间的一个基底，a,b,c都叫做基向量。二、空间直角坐标系单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用i,j,k表示。则空间中任意一个向量p可表示为p=xi+yj+zk
14、(x,y,z)就是向量p的坐标。3.1.5向量的直角坐标运算二、距离与夹角1.距离公式（1）向量的长度（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。在空间直角坐标系中，已知 、，则（2）空间两点间的距离公式终点坐标减起点坐标2.两个向量夹角公式注意：（1）当 时， 同向；（2）当 时， 反向；（3）当 时， 。思考：当 及 时，的夹角在什么范围内？立体几何中的向量方法1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点
15、、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间
